费马点模型(1)

知模型，会应用；明原理，读懂数学.张永坤 关于费马点问题在初三几何题中的研究关于费马点问题在初三几何题中的研究 “费马点”是指位于三角形内且位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短到三角形三个顶点距离之和最短的点的点. 若给定一个三角形ABC 的话，从这个三角形的费马点 P 到三角形的三个顶点 A、B、C 的距离之和 比从其它点算起的都要小. 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个都只有一个. 【定义】【定义】 1.若三角形三角形 3 个内角均小于个内角均小于 120 ，那么 3 条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角该点所对三角 形三边的张角相等，均为形三边的张角相等，均为 120 。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心等角中心. （托里拆利托里拆利的解法中对这个点的描述是： 对于每一个角都小于 120 的三角形 ABC 的每一条边为底边， 向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而 这个交点就是所要求的点。 这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。 这个点因此也叫做托里拆利点。 ） 2.若三角形有一内角大于等于三角形有一内角大于等于 120 ，则此钝角钝角的顶点的顶点就是距离和最小的点. 【费马点问题】【费马点问题】 问题：问题：如图如图 1，如何找点如何找点 P 使它到使它到 ABC 三个顶点的距离之和三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？最小？ 图文解析：图文解析： 如图 1，把APC 绕 C 点顺时针旋转 60 得到APC，连接 PP 则CPP为等边三角形，CP= PP，PA =PA， PA+PB+PC= PA+ PB+ PPB C 点A可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60 而得的定点， BA为定长 ， 当 B、P、P、A 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小最小值为 BA. 【如图如图 1 和图和图 2，利用旋转、等边等利用旋转、等边等条件条件转化相等线段转化相等线段.】 APC=A PC=180 -CPP=180 -60 =120 ， BPC=180 -PPC=180 -60 =120 ， APC=360 -BPC-APC=360 -120 -120 =120 . 因此，当ABC 的每一个内角都小于 120 时，所求的点 P 对三角形每边的张角都是 120 ；当有一内 角大于或等于 120 时，所求的 P 点就是钝角的顶点 费马点问题告诉我们， 存在这么一个点到三个定点的距离的和最小， 解决问题的方法是运用旋转变换旋转变换 【方法总结】利用旋转、等边等【方法总结】利用旋转、等边等条件条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段. 【知识应用】两点之间线段最短【知识应用】两点之间线段最短. 【典型例题】【典型例题】 例例 1 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角 线 BD （不含 B 点） 上任意一点， 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 600得到 BN， 连接 EN、AM、CM. （1）求证:AMBENB； （2）当 M 点在何处时，AMCM 的值最小； 当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； （3）当 AMBMCM 的最小值为13 时，求正方形的边长. 【图文解析】【图文解析】 （1）SAS 证全等证全等 ABE 是等边三角形， BA=BE，ABE=60 ， 旋转， 图 3 图 1 图 2 知模型，会应用；明原理，读懂数学.张永坤 MBN=60 ， MB=NB MBN-ABN=ABE-ABN，即BMA=NBE， AMBENB（SAS） ； 【如图如图 3】 （2）两点之间，线段最短两点之间，线段最短 当 M 点落在 BD 的中点时，AM+CM 的值最小； 连接CE， 当M点位于BD与CE的交点处时， AM+BM+CM 的值最小， 理由如下：理由如下：连接 MN， 由（1）知，AMBENB， AM=EN， MBN=60 ，MB=NB， BMN 是等边三角形， 【如图如图 4，证等边，转化线段，证等边，转化线段】 BM=MN， AM+BM+CM=EN+MN+CMCE， 当 E、 N、 M、 C 四点在同一直线上时， 得 EN+MN+CM= CE 最短 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 CE 的长； 【如图如图 5，转化三条，转化三条 线段首位相连线段首位相连】 （3）方法一：方法一：知知 CE 求求 BC；把握特殊角；把握特殊角 过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F， EBF90 60 30 . 设正方形的边长为 x，则 EF 2 x ，BF 2 3 x. 【如图如图 6】 在 RtEFC 中，EFC=90 ， EF2FC2EC2， 【如图如图 7，利用勾股定理列方程，建立等量关系，利用勾股定理列方程，建立等量关系】 （ 2 x ）2（ 2 3 xx）2 2 13 . 解得:2 1 x，2 2 x（舍去）. 正方形的边长为2. 方法方法二二：发现特殊发现特殊AEC（30、45、105） ，拆分顶角） ，拆分顶角. 连接 AC，作 AFCE. EBC90 +60 150 ，BE=BC， BECBCE15 ， AEC45 ，ACE30 . 假设 EF=a， 在等腰直角AEF 中，AF=EF=a， 【如图如图 8】 在直角ACF 中，CF=3AF=3a， 【如图如图 8】 CE=13 ， a+3a=13 ， 解得：a=1. 正方形的边长 AB=AE=2EF=2 图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 知模型，会应用；明原理，读懂数学.张永坤 例例 2（2017 年年济南市网评卷济南市网评卷）如图 1，已知一次函数 y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物 线cbxxy 2 过 A、B 两点，且与 x 轴交于另一点 C （1）求 b、c 的值； （2）点 D 为 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且 BE=2ED，连接 CE 并延长交抛物线于点 M，求点 M 的 坐标； （3）将直线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 15 后交 y 轴于点 G，连接 CG，如图 2，P 为ACG 内一点，连 接 PA、PC、PG，分别以 AP、AG 为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接 QR，求 PA+PC+PG 的最小值 【图文解析】【图文解析】 （1）求求 A、B 两点两点坐标，代入抛物线解析式，求出坐标，代入抛物线解析式，求出 b、c 的值的值. 一次函数 y= x+3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 当 x=0 时，y=3，当 y=0 时，x= -3 A（-3，0） ，B（0，3） ，.1 分 抛物线cbxxy 2 过 A、B 两点， 将点代入得： 039 3 cb c .2 分 解得： 2 3 b c . . .3 分 （2）求直线求直线 CE 的解析式，联立解析式求点的解析式，联立解析式求点 M 的坐标的坐标. 由（1）知，抛物线解析式为：32 2 xxy. 当 y=0 时，032 2 xx，解得：3 1 x，1 2 x， 点 C 坐标（1，0） ， .4 分 作 EHOD，则易证DEHDBO. 【如图如图 9】 点 D 为 AC 的中点 AD=DC=2， 点 D 坐标（-1，0） ， BE=2ED， BD=3ED， OH= 3 2 OD= 3 2 ，EH= 3 1 OB=1. 图 1 图 2 备用图 图 9 知模型，会应用；明原理，读懂数学.张永坤 点 E 坐标（- 3 2 ，1） ， 【求求 E 点坐标，进而求直线点坐标，进而求直线 CE 的解析式的解析式】 设直线 CE 为 y=kx+b，把 E、C 代入得 1 3 2 0 bk bk ，解得： 5 3 5 3 b k 直线 CE 为 5 3 5 3 xy，.5 分 由 32 5 3 5 3 2 xxy xy 解得 25 51 5 12 y x 或 0 1 y x （舍去） ， 点 M 坐标（ 5 12 ， 25 51 ） .6 分 （3） “费马点”问题，利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段“费马点”问题，利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段. AGQ，APR 是等边三角形， AP=AR，AQ=AG，QAC=RAP=60 ， QAR=GAP， QARGAP， 【如图如图 10】 QR=PG.7 分 PA+PG+PC=QR+PR+PCQC， 当 Q、R、P、C 共线时，PA+PG+PC 最小， 【如图如图 11】 在直角AOG 中， GAO=60 ，AO=3， AG=QG=AQ=6，OG=33， 点 Q 坐标（-6，33） .8 分 由距离公式得： CQ=1927603316 2 2 .9 分 图 10 图 11 知模型，会应用；明原理，读懂数学.张永坤 【跟踪练习跟踪练习】 例例 3（2017 年市中区二模）年市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1,0） ，点 B 的坐标为（4，0） ， 经过点 A 点 B 抛物线 y=x +bx+c 与 y 轴交于点 C. （1）求抛物线的关系式. （2）ABC 的外接圆与 y