高考数学复习专题7.2：三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展

专题7.2：三角函数定义在解析几何中的应用研究与拓展【问题提出】问题1：已知,均为正数,满足,则的值为_. 问题2：如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮的半径为（为常数），小飞轮的半径为，.在大飞轮的边缘上有两个点，满足，在小飞轮的边缘上有点设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点，在水平直线上m（1） 求点到达最高点时，间的距离；（2）求点，在传动过程中高度差的最大值来源: 【分析】把A看作主动点，C为从动点，相同时间内两个飞轮传动的皮带长度相等，可以得到两个圆上的圆心角的大小关系要求点，在传动过程中高度差，建立坐标系较方便【解答】（1）以为坐标系的原点，所在直线为轴，如图所示建立直角坐标系A OZ OZ CZ BZ 1 2 x y 当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过 此时A（0，2r），C （2）由题意，设大飞轮转过的角度为，则小飞轮转过的角度为2，其中此时B（2r，2r），C（4r + r，r）记点高度差为，则即 设，则 令，得或1则，0或2 列表：02+0-0+0极大值f()极小值f()0当 =时，f()取得极大值为；当 =时，f()取得极小值为答：点B，C在传动中高度差的最大值 本题主要考查弧度制的定义，三角函数的定义并结合导数来考虑函数的最值问题对于一些不能利用三角函数常见求解方法的三角函数问题，一般可以利用导数来求其最值【探究拓展】探究1：已知曲线的参数方程是 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且以逆时针次序排列，点的极坐标为 .（1）求点 的直角坐标；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.探究2：过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与，则四边形面积的最小值为 . 探究3：椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，证明：点到直线的距离为定值；（3）试求面积的最小值.OABMxy探究4：已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）求等价于求的值.在求时，不要忘记讨论点A、B、M的特殊位置。【解答】（1）将与代入椭圆的方程，得， 解得，所以椭圆的方程为（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时 同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时若点、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为设，由，解得， 所以，同理可得，所以综上，为定值 【反思】对于第（2）小题也可以设点法来处理，即设点A，B，分别代入椭圆方程即得结果.此法是运用了三角函数中的点的表示或者说是极点在原点的极坐标表示法，同时免于了讨论.变式1：在平面直角坐标系中，已知,若三点按顺时针方向排列构成等边三角形,且直线与轴交于点（1）求的值；（2）求点的坐标本题2问也可以利用矩阵变换的方法完成变式2：已知椭圆的离心率，一条准线方程为（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且 当直线的倾斜角为时，求的面积； 是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由解：（1）因为，解得，所以椭圆方程为（2）由，解得 ， 由 得 ， 所以，所以 假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则因为，故，当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，由，得，所以， 同理可得（将中的换成可得），当与的斜率有一个不存在时，可得，故满足条件的定圆方程为：变式3：在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.变式4：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(ab0)过点(1，1)（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；（2）若椭圆上两动点P，Q，满足OPOQ 已知命题：“直线PQ恒与定圆C相切”是真命题，试直接写出圆C的方程；(不需要解答过程) 设中的圆C交y轴的负半轴于M点，二次函数y=x2-m的图象过点M点A，B在该图象上，当A，O，B三点共线时，求MAB的面积S的最小值解：(1)由，所以2分设椭圆方程为，将(1，1)代入得，所以，椭圆方程为5分(2) 9分 由题意，二次函数为y=x2-110分设直线AB的方程为y=kx由，消去得，设，则，12分所以 14分当时，MAB的面积S的最小值为1 16分拓展1：经过点(1，1)的椭圆C1：上有两动点P，Q，满足OPOQ（1）求证直线PQ恒与定圆C相切，并求出圆C的方程；（2）设（1）中的圆C交y轴的负半轴于M点，曲线C2：y=x2-m过M点过M作直线l1交C1于D，交C2于A，过M作直线l2交C1于E，交C2于B当A，O，B共线时， 求AMB； 记MAB，MDE的面积分别为S1，S2，求的最小值求解时，可利用等面积法，得到，进而可证明直线PQ恒与单位圆相切可通过特例，由椭圆的四个顶点及连线围成的菱形，由猜测出圆C的方程，进而只需探求圆心O到直线PQ的距离是否为1即可OxyABl拓展2：在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上的点到右焦点的距离的最小值为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且 求证：原点O到直线AB的距离为定值； 求AB的最小值【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e于是设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以 因为所以椭圆方程为 （2）设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知当直线的斜率不存在或斜率为时，或于是当直线的斜率存在且不