高考数学复习专题3.2：含参数的导数分类讨论问题的研究与拓展

专题3.2：含参数的导数分类讨论问题的研究与拓展【探究拓展】探究：已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在区间上的最大值. 变式1：已知函数，且（1）试用含有的式子表示；（2）求的单调区间. 变式2：函数的图像上有两点，且轴，其中点，其中，（1）试写出用点的横坐标表示面积的函数解析式；（2）记的最大值为求.变式3：设函数，求函数的单调区间.拓展1：设函数（1）当时，求证：为单调增函数；（2）当时，的最小值为4，求的值解：（1）当时，所以，所以为单调增函数 （2） 当时，在区间上是单调增函数，最小值为，由，得（舍去） 当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数，最小值为，由，得或（舍去） 当时，在区间上是减函数，最小值为，由，得（舍）综上所述， 变式：已知函数f (x)(m3)x3 + 9x.（1）若函数f (x)在区间(，+)上是单调函数，求m的取值范围；（2）若函数f (x)在区间1，2上的最大值为4，求m的值【解】（1）因为(0)9 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数由(x)3(m3)x2 + 90在区间(，+)上恒成立，所以m3故m的取值范围是3，+) （2）当m3时，f (x)在1，2上是增函数，所以f (x) maxf (2)8(m3)184,解得m3，不合题意，舍去 当m3时，(x)3(m3) x2 + 9=0，得所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减当，即时，所以f (x)在区间1，2上单调增，f (x) max f(2)8(m3)184，m，不满足题设要求当，即0m时，f (x) max舍去当，即m0时，则，所以f (x)在区间1，2上单调减，f (x) max f (1)m + 64，m2.综上所述：m2拓展2：已知函数f(x)m(x1)22x3lnx ，mR（1）当m0时，求函数f(x)的单调增区间；（2）当m0时，若曲线yf(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线yf(x)有且只有一个公共点，求实数m的值解（1）由题意知，f(x)2x3lnx，所以f(x)2 (x0) 2分由f(x)0得x(0，) 所以函数f(x)的单调增区间为(0，) 4分（2）由f(x)mxm2，得f(1)1，所以曲线yf(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为yx2 6分由题意得，关于x的方程f(x)x2有且只有一个解，即关于x的方程m(x1)2x1lnx0有且只有一个解 令g(x)m(x1)2x1lnx(x0)则g(x)m(x1)1(x0) 8分当0m1时，由g(x)0得0x1或x，由g(x)0得1x，所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，)上为减函数，在(，)上为增函数又g(1)0，且当x时，g(x)，此时曲线yg(x)与x轴有两个交点故0m1不合题意 10分当m1时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，且g(1)0，故m1符合题意当m1时，由g(x)0得0x或x1，由g(x)0得x1，所以函数g(x)在(0，) 为增函数，在(，1)上为减函数，在(1，)上为增函数又g(1)0，且当x0时，g(x)，此时曲线yg(x)与x轴有两个交点故m1不合题意综上，实数m的值为m1 变式：已知函数，（1）若函数在其定义域内是单调增函数，求的取值范围；（2）设函数的图象被点分成的两部分为（点除外），该函数图象在点处的切线为，且分别完全位于直线的两侧，试求所有满足条件的的值解：（1），只需要，即，所以（2）因为所以切线的方程为令，则若，则，当时，；当时，所以，在直线同侧，不合题意；若，若，是单调增函数，当时，；当时，符合题意；10分若，当时，当时，不合题意； 若，当时，当时，不合题意；若，当时，当时，不合题意故只有符合题意 拓展3：已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：解：（1） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. （2）设函数则当.故当， （3）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（II）得从而 由（I）知，拓展4：已知函数 （1）若a1，求函数对应曲线上平行于x轴的所有切线的方程； （2）直接写出（不需给出演算步骤）函数的单调递增区间； （3）如果存在，使函数，在处取得最小值，试求b的取值范围解：（1）由题意知， 由，得. 当时，；当时， 所求切线方程为和 （2）当时，不存在增区间；当时，增区间为；当时，增区间为；当时，增区间为 （3），由题意知，在区间上恒成立，即在区间上恒成立 当时，上式显然成立，； 当时，可转化为在区间上恒成立，令，由于二次函数的图象是开口