高考数学复习专题2.20：二次函数零点问题的研究与拓展_第1页
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专题2.20：二次函数零点问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设分别是实系数一元二次方程和的一个根，且求证：方程有且仅有一根介于之间.变式1：已知函数f(x)ax24xb(a0，a、bR)，设关于x的方程f(x)0的两实根为x1、x2，方程f(x)x的两实根为、.（1）若|1，求a、b的关系式；（2）若a、b均为负整数，且|1，求f(x)的解析式；（3）若12，求证：(x11)(x21)2c2b，求证：（1）a0且3；（2）函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；（3）设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|.变式4：设函数且.（1）求证：函数有两个零点；（2）设是函数的两个零点，求的取值范围；（3）求证：函数的零点至少有一个在区间内.探究2：已知方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）求证：函数在区间上是单调函数.变式：已知二次函数和（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不相等的实根，当时判断在上的单调性；（3）若方程的两个不相等的实根为，的两实根为，求使得成立的的取值范围.探究3：二次函数，方程的两根和满足（1）求实数的取值范围；（2）试比较与的大小并说明理由变式：已知，是的零点，且，则从小到大的顺序为_探究4：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解. a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1.点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.解析2：a=0时，不符合题意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时，0,此函数g(t)单调递增，y的取值范围是，=0在-1，1上有解或.点评: 将原题中的方程化成的形式, 问题转化为求函数-1，1上的值域的问题,是解析2的思路走向.变式1：已知函数（1）求证：函数y = f(x) 的图象恒过两个定点（2）若y = f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围（1）设，即令x2 = 4，得x = -2或2则函数y = f(x) 的图象恒过定点（-2，7），（2，-1） （2）f(-2) = 7 0，f(2) = -1 0，抛物线开口向上，y = f(x)在（1，3）内有零点，当且仅当f(1) 0，或f(3) 0 则，或0 ，或 2）若a 0即 ，结合a 0，得a 0，已知函数的两个零点为x1，x2 ，令且，求证：.探究8：设函数（1）当，求函数的零点；（2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点；（3）若函数有四个不同的零点，求实数的取值范围. 变式1：若关于x的方程kx2有四个不同的实数根，
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