高考数学复习专题7.31：卡西尼卵形线的研究与拓展

专题7.31：卡西尼卵形线的研究与拓展【探究拓展】探究1：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称； 若点P在曲线C上，则的面积不大于其中正确命题的序号为_背景展示 在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval），乔凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝.他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名.卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.探究2：设两定点为，且，动点满足,取直线作为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，则 整理得： 解得： （）于是曲线的方程可化为（）对于常数,可讨论如下六种情况：（1）当时，图像变为两个点；（2）当时，图像分为两支封闭曲线，随着的减小而分别向点收缩；（3）当时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；（4）当时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；（5）当时，与前种情况一样，但曲线中部变平；（6）当时，曲线中部凸起。变式1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么？变式2：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？变式3：到定点的距离与到定直线的距离的倍之和为定值的定点轨迹是什么？变式4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么？变式5：到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？拓展1：在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3,0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求点P的轨迹C； （2）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解：（1）设点P的坐标为（x，y），则3x-2由题设 当x2时，由得化简得 当时 由得化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（2）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因为当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知，设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为拓展2：已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.解：（1）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为 （2）由题意知，直线的斜率存在且