高考数学复习专题6.11：数列中公共项问题的研究与拓展

专题6.11：数列中公共项问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=_.变式1： 等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列，若=1，则=_.变式2：已知为等差数列，公差， 的部分项、恰为等比数列，若，求.变式3： 设数列是公差不为零的等差数列，若自然数满足，且是等比数列，则=_.；提示：是以2为首项，2为公差的等差数列，；是以2为首项，3为公比的等比数列，变式4：已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，（1）若k=7， （i）求数列的前n项和Tn；（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求的值；（2）若存在mk,使得成等比数列，求证k为奇数.（研究子数列问题的根本着力点是算两次）(1) 因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，所以，整理得，又，所以，所以， 用错位相减法或其它方法可求得的前项和为； 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，所以.所以=1 (2) 由，整理得，因为，所以，所以. 因为存在mk,mN*使得成等比数列，所以， 又在正项等差数列an中，所以，又因为，有， 因为是偶数，所以也是偶数，即为偶数，所以k为奇数. 拓展1：（1）是否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列又成等比数列？（2）是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列又成等比数列？（3）设是各项不为零的项等差数列，且公差，若将数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，所有数对所组成的集合为_（4）（1）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. 当时，求的数值；求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列【解】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾故与同时不为0，所以由（*）得因，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数于是对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列例如n项数列1，满足要求拓展2：已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2a1，记Sn为数列bn的前n项和；（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m1）a1；（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列bn中每一项都是数列an中的项；（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；拓展3：在数列中，且对任意的，成等比数列，其公比为，成等差数列，其公差为，设. （1）若，求的值；（2）求证：数列为等差数列；（3）若，设，是否存在、，使得、成等比数列若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由解：（1），, 又，解得或. 4分 （2）成等差数列, ，而,故，则. 6分得，所以，即.故数列是公差为1的等差数列. 9分（3）由得，则. . 则假设存在、，使得、成等比数列，则，即整理得 12分因为，所以 解得 因为，所以，此时故存在，使得、成等比数列 16分变式：在数列中，,且对任意的,成等比数列，其公比为.（1）若，求；（2）若对任意的,，成等差数列，其公差为，设 求证：成等差数列，并指出其公差； 若,试求数列的前项的和.解：(1) 因为,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,所以(2) 因为成等差数列,所以,而,所以,则得,所以,即,所以是等差数列,且公差为1 因为,所以,则由,解得或()当时, ,所以,则,即,得,所以,则所以,则,故()当时, ,所以,则,即得,所以,则,所以,从而.综上所述,或探究3：（1）在等差数列数列中，是否成立？（2）如果在数列中，你能得到什么结论？拓展1：数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列.（1）若数列是“型”数列，且，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明：数列是等比数列.解：（1）由题意得，成等比数列，且公比，（2）证明：由是“型”数列，得 ，成等比数列，设公比为.由是“型”数列，得 ，成等比数列，设公比为； ，成等比数列，设公比为； ，成等比数列，设公比为； 则， 所以，不妨记，且 于是， ， ， 所以，故为等比数列拓展2：设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立（1）设，求的值；（2）设，求数列的通项公式【解】（1）由题设，当，从而的值为8（2）由题设知，当，两式相减所以当成等