高考数学复习专题2.16：函数凹凸性质的研究与拓展

专题2.16：函数凹凸性质的研究与拓展【问题提出】问题1：；思考1：研究能否去掉绝对值符号？提出命题，并证明；思考2：比较与的大小；【探究拓展】探究1：函数，且），都是正实数，判断与的大小，并加以证明. 探究2：对于任意，若函数，且，判断与的大小，并加以证明.探究3：设是正数组成的等比数列，是其前项和，比较和的大小；变式：（全国高考）设，则的大小关系为_探究4：定义：定义在区间上的函数满足：如果任意的，都有成立，则称函数是上的凹函数；定义：定义在区间上的函数满足：如果任意的，都有成立，则称函数是上的凸函数；（1）几何解释分别是什么？解释：过曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）凹凸函数的几何特征：几何特征1（形状特征）图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设是凹函数y=曲线上两点，它们对应的横坐标，则，过点作轴的垂线交函数于A，交于B， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方;凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。简记为：形状凹下凸上。几何特征2（切线斜率特征） 图6（凹函数） 图7（凸函数）设是函数y=曲线上两点，函数曲线与之间任一点A处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而减小；简记为：斜率凹增凸减。几何特征3（增量特征）图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数）设函数（）为凹函数，函数（）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数（）的相应增量，越来越大；函数（）的相应增量，越来越小；由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量（1，2，3，）凹函数的增量特征是：越来越大；凸函数的增量特征是：越来越小；简记为：增量凹大凸小。（2）根据几何意义判断下列图象的凹凸性质：在上是上凸函数在上是上凸函数上是下凸函数拓展1：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是 B( )hVH0变式1：如图所示，单位圆中弦的长为，表示弧与弦围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ） D变式2：四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）A变式3：家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 变式4：如图, 直线与圆C, 当从开始在平面上绕点逆时针方向匀速旋转时（旋转角度不超过），它所扫过的圆内阴影部分面积是时间的函数，它的大致图象是 0C tS0t0tS0t0tS0t0tS0t0 A. B. C. D.拓展2：在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是_. 1变式1：(2009复旦)如果一个函数在其定义区间内对任意、都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数：；中是下凸函数的有（ ）.A. B. C. D. 【答案】D变式2：对于函数定义域中任意的，有如下结论：；当时，上述结论中正确结论的序号是 . 变式3：如图所示，f1（x），f2（x），f3（x），f4（x）是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中任意的x1和x2，f（）f（x1）+f（x2）恒成立”的只有（ ）变式4：如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中任意的x1和x2，任意0，1，fx1+（1）x2f（x1）+（1）f（x2）恒成立”的只有（ ）A.f1（x），f3（x） B.f2（x） C.f2（x），f3（x） D.f4（x）变式5：设为定义在区间上的函数，若对上任意两个实数都有成立，则称为上的凹函数。（1）判断是否为凹函数？（2）已知函数为区间3,6上的凹函数，请直接写出实数的取值范围(不要求写出解题过程)；（3）设定义在上的函数满足对于任意实数都有.求证：为R上的凹函数.探究5：琴生不等式：若是区间 (a，b) 上的凹函数，则对任意的点x1，x2，xn(a，b)，有取“=”条件：x1 = x2 = = xn注：更一般的情形：设是定义在区间 (a，b) 上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有（其中），则称是(a，b) 上的凹函数其推广形式，即加权的琴生不等式：设，若是区间 (a，b) 上的凹函数，则对任意的x1，x2，xn(a，b)有取