五年级数学竞赛第12讲 不定方程VIP

第十二讲 不定方程先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写了一个整数，它们的和是10，你能猜出左、右手心各写的是什么整数吗？小王满有信心地说：能行。于是小王连续猜了三次。第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对；第二次猜：左手心写的是5，右手心写的是5，老师说不对；第三次猜：左手心写的是7，右手心写的是3，老师说还是不对。其实我们已经知道，这个问题的答案有许多个，不要说猜三次，就是再猜几次，可能还是没有恰好猜出来。如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程 x+y=10。由于未知数的个数比方程的个数多，于是得到的解不是唯一的，即使再加一些附加条件，可能还是不容易得到合理的答案。一般情况，我们把求这类方程整数解的问题叫做不定方程。我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长度为17米和8米的两种同样粗细的水管，问两种水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段。由于总长度是158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩下的长度是否恰好是8的整数倍。这个办法是将17米长的水管的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种方法叫做“穷举法”。当可取的情况很多时，这种方法当然不能令人满意，如果情况种类不太多，这种方法还是可行的。21世纪教育网版权所有如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可以列出方程17x+8y=158， （1）本题要求这个方程的整数解。我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为：8y=15817x， （2）8y=152+616xx （3）由于152和16x都是8的倍数，因此6x也应该是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代入（2）中，可以解出y=7，所以17米长的水管用了6根，8米长的水管用了7根。也可以由方程（2）两端同除以8得， （4）所以 （5） （6）由于x、y均为整数，192x也是整数，故可知也是整数，显然只有当x=6时，为整数，此时=0，y=1926=7。21这种解法叫做整数离析法或整数分离法。一二元一次不定方程象上面讲到的17x+8y=158这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。21cnjy一般地，形如ax+by=c的方程中，其中a、b、c为整数，且a、b均不为零，称为未知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数解或正整数解。对于上述方程通常要考虑下面几个问题：1a、b、c是什么样的整数时，方程有整数解或者无整数解；2如果有整数解，将有多少整数解？是否有解的统一表示办法？3如何求出所有的解。我们曾用整数离析法求出了17x+8y=158的一组正整数解x=6，y=7。是否还有其他的正整数解呢？以上三个问题全部解决，这个问题才算解答完毕。下面我们将通过例题把一些主要结论介绍给大家。如求二元一次不定方程3x+9y=23的整数解。容易看到等号左端当x、y为整数时，能被3整除，但右边的23不能被3整除，故左右两端不可能相等，方程没有整数解。21*cnjy*com一般地，当(a，b)c时(a，b)表示的是a与b的最大公约数，方程ax+by=c无整数解。理由是当x、y为整数时，左式是(a，b)的倍数，但右端却不是(a，b)的倍数，所有原方程无整数解。【来源：21cnj*y.co*m】再看二元一次不定方程6x+9y=21，由于(6，9)=3，而3|21，在这种情况下，方程有无整数解呢？21教育名师原创作品在方程两端同除以(6，9)=3，得2x+3y=7，容易看出x=2，y=1就是这个方程的一个整数解。由于知识的限制，现在我们所学的整数只有零和自然数。在此范围内，方程可能只有一个或几个解，甚至于可能没有解，但如果数的范围加入了负数，那么只要(a，b)|c，方程就一定有解。21*cnjy*com例如21x+18y=3，这个方程中，(a，b)=(21，18)=3，方程可以变形为7x+6y=1，这个方程在零和自然数的范围内无整数解，在中学学习负数的概念后，还可以找到方程的整数解。在本讲中我们只讨论用小学知识可以求解的题目，但给出的公式却具有一般性。在ax+by=c中，如果(a，b)=c，那么方程两端同除以(a，b)后得a1x+b1y=c1，如x=x0，y=y0是方程a1x+b1y=c1的一组解，那么方程的所有解为，其中t可以取任意整数（包括负整数）。2-1-c-n-j-y这就是说，如果能求出一组解x=x0，y=y0，就可以直接写出方程a1x+b1y=c1的所有解。如求方程4x+3y=17的所有整数解。由于(4，3)=1，1|17，故这个方程肯定有整数解。容易看到x=2，y=3是方程的一个解，那么4x+3y=17的所有解是，其中t可以取任意整数。当t=0时的解即为x=2，y=3，但当t为正整数时，x为正整数，y却不是正整数了。例1大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。解：设需要大汽车x辆，小汽车y辆，可得方程54x+36y=378，由(54，36)=18，18|378，原方程可以化为3x+2y=21，且一定有整数解。容易看到x=1，y=9就是3x+2y=21的整数解，那么3x+2y=21的所有整数解为，t为任意整数。方程3x+2y=21除了t=0时，有整数解x=1，y=9之外，还有当t=1时，有整数解x=3，y=6；当t=2时，有整数解x=5，y=3；当t=3时，有整数解x=7，y=0；因此可以要大车1辆，小车9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；或大车7辆，小车0辆都能使每个人都上车且各车都正好坐满。当t4时，由于y不再是零和正整数，从而使解失去了实际意义。例2解不定方程31x+47y=265。解：由于(31，47)=1，1|265，所以方程肯定有整数解，但要想看出一组整数解来却并不容易，我们又不想用x依次取0、1、2、3、去试求y的值，看看y什么时候会成为整数。于是还是采用整数分离法来求这个方程的一组整数解。将原方程变形为：31x=26547y，两边同除以31，得，由于x，y都是整数，必有为整数。设，所以31k=1716y，16y=1731k，由于y，k都是整数，所以必为整数，设t=，k=16t1，将k=16t1代入到中，得y=12(16t1)+t，即y=331t，再代入到中得x=8(331t)+(16t1)，得x=47t+4，即原方程的解是，其中t为任意整数。从上式可以看出当t=0时，x=4，y=3是原方程的一组正整数解。且只有这一组正整数解。例3解不定方程5x+7y=978，并求正整数解的个数。解：由于(5，7)=1，且1|978，所以原方程一定有整数解。由5x=9787y得，令，所以5k=32y，2y=35k，令，于是k=12t，把k=12t代入到中，得y=12(12t)+t，即y=5t1，把y=5t1和k=12t代入到中，得x=195(5t1)+(12t)，即x=1977t。所以原方程的解是，t为任意整数。要求原方程的正整数解的个数，应满足，解得，即，满足这个条件的整数t有1、2、3、28，一共有28个。所以原方程有28组正整数解。二三元一次不定方程组先从一个古代问题谈起。“一百匹马驮一百块瓦。大马驮三片，中马驮两片，两匹小马驮一片，最后不剩马和瓦，问有多少大马、中马和小马？”【来源：21世纪教育网】解：设大马、中马、小马分别有x、y、z，列出的方程是x+y+z=100（1）和3x+2y+z=100（2）.由（1）和（2）组成的三元一次方程组比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知数，设法消去一个未知数化为二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值。由（2）得6x+4y+z=200 (3)（3）（1）得5x+3y=100，由(5，3)=1，1|100，所以此方程一定有整数解。由3y=1005x得 ，因为y是整数，所以3|(20x)，当x依次取2、5、8、11、14、17、20时，y依次取得30、25、20、15、10、5、0。把它们代入（1）依次得z=68、70、72、74、76、78、80。即原方程组有七组解，。不过y=0说明不用中马，作为求正整数解可以不考虑。例4如果1只兔可以换2只鸡，2只兔可以换3只鸭，5只兔可以换7只鹅，某人用20只兔换了鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？21教育网解：设鸡、鸭、鹅的数目分别是x、y、z，则， 方程（2）可以化为21z+28y+30z=840 （3）方程（1）化为 21x+21y+21z=630 （4） （3）（4）得 7y+9z=210 （5）由（5）得 ，由于y是整数，所以z一定是7的倍数，当z分别是7、14、21时，y依次得21、12、3，代入到（1）中解得x依次为2、4、6。所以原方程有三组解，。练 习 题1将118写成两个整数的和，使得一个整数是11的倍数，另一个整数是17的倍数。解：设一个整数是11的x倍，另一个整数是17的y倍，则11x+17y=118，由于(11，17)=1，1|118，所以该不定方程一定有整数解。11x=11817y， ，由于x，y是整数，所以也是整数。设k=，得11k=86y，6y=811k，是整数，令t=，所以k=6t2，代入得y=12(6t2)+t=511t，x=10(511t)+(6t2)=3+17t。所以方程的解是，当t=0时，x=3，y=5。即118=311+517。2不定方程5x14y=11的最小正整数解是x= ；y= 。解：5x=11+14y，所以是整数，当y=1时，x=5。所以最小正整数解是x=5，y=1。3解不定方程7x+11y=1288，并确定正整数解的组数是 组。解：7x=128811y，当y=0时，解得x=184，所以x=184，y=0是一组整数解，原方程的所有解是，其中t是整数。对于正整数解的条件式，解得，所以t可以取1、2、3、15、16，一共16个整数，所以原方程有16组正整数解。【出处：21教育名师】4大小两种盒子，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，问要大、小盒子各几个才能将巧克力全部装入盒内，且每盒都装满。【版权所有：21教育】解：设需要大盒子x个，小盒子y个，则48x+30y=306，因为(48，30)=6，6|306，方程两边同除以6得8x+5y=51，因为x，y都是整数，所以是整数。可以看出当y=7时，x=2是原方程的一组解，所以原方程的所有解是，且只有这一组正整数解，答：需要2个大盒子和7个小盒子。5三元一次方程组的正整数解是 。解：把方程（1）乘以2得10x+14y+6z=25，与第二个方程相加得13x+13y=52，两边同除以13得x+y=4，所以正整数解为，把它们代入到方程（2）中分别得z=，z=，z=1.所以原方程的正整数解只有x=3，y=1，z=1。6在1500年前的“张立建算经”里，曾提出“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”解：设有鸡翁x只，鸡母y只，鸡雏z只，则，把方程（2）乘以3得15x+9y+z=300， （3）方程（3）减去方程（1）得14x+8y=200，(14，8)=2， 2|200，所以方程两边同除以2得7x+4y=100，可以看出当x=0，y=25时是方程的一组解，所以该方程的所有解是，其中t是整数，代入到（1）中，可以解得z=75+3t，求原方程的正整数解，条件是，当t=1时，有，此时z=78；当t=2时，有，此时z=81；当t=3时，有，此时z=84；21cnjycom所以方程有三组正整数解：(4，18，78)；(8，11，81)；(12，4，84)。7求不定方程5x3y=7的一组正整数解并写出所有解的表达式，这个方程有多少组正整数解？解：，所以是整数，当y=4时，x=1，所以原方程的一组正整数解是x=1，y=4，所以方程的所有解是，t是任意整数，对于正整数解的条件式t0，所以原方程有无穷多组正整数解。8由一个同学把他的生日的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，把总数告诉你，你能准确推算出他的生日吗？如果小李告诉你的是170，小李的生日是哪一天？解：设出生的月份是x月，出生的日期是y日，则31x+12y=170，(31，12)=1，1|170，所以该方程一定有整数解。由，所以是整数。令k=，则31k=1512y， ，所以是整数，令m=，12m=3+5k，这个方程的一组解是m=4，k=9，所以m=45t，k=912t，代入到得y=13(912t)+(45t)=31t22，x=5+(912t)=1412t。当t=1时，x=2，y=9。所以小李的生日是2月9日。9甲说：“我和乙、丙共有100元”，乙说：“如果甲的钱是现在的6倍，我的钱是现有的，丙的钱不变，我们三人仍然有100元”，丙说：“我的钱连30元都不到”，问三人原来各有多少钱？21世纪*教育网解：设甲、乙、丙三人原来各有x、y、z元，则，（2）式乘以3得18x+y+3z=300 (3)（3）式（1）式得17x+2z=200，由于(17，2)=1，1|200，所以该方程一定有整数解，很明显当x=0，z=100是方程的一组整数解，所以方程的所有解是，其中t是整数。根据题目的要求知x0，0z30，所以，解得，由于t为整数，所以只有t=5这一个解，此时x=10，z=15，y=75。答：甲、乙、丙三人原来