河北省定州市2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）

20202020学年高二下学期期中考试数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求函数定义域得集合A，求函数值域得集合B，取交集即可得答案【详解】由函数yln（9x2），得9x20，即（x+3）（x3）0，解得：3x3，所以集合A（3，3），由函数0，得集合B（0，+），则AB故选：D【点睛】本题考查交集的运算及函数定义域值域的求法，属于基础题.2.已知函数 ，则的图象过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，则，即所以函数的图象过定点，得到答案.【详解】由题意知，函数，令，则，所以函数的图象过定点，故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求的定义域，只要注意分母不为0，偶次方根大于等于0，然后解不等式组即可.【详解】因为，所以，解得或，答案选C.【点睛】本题考查定义域问题，注意对不等式组进行求解即可，属于简单题.4.已知函数 ，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的解析式，可得，即可求解.【详解】由题意，函数，则，故选B.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.若函数满足，且，则（ ）A. 3B. -3C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数满足，令，则，即可求解.【详解】由题意，函数满足，且，令，则，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的运算，其中解答中利用函数的关系式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.设， ，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质求得，根据对数函数的性质求得，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，由对数函数的性质，可得，所以.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的运算性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.定义在上的奇函数在上有2个零点，则在上的零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】根据函数是定义在上的奇函数，所以，再根据偶函数的对称性，得到 在和上各有1个零点，即可得到答案.【详解】由题意知，函数是定义在上的奇函数，所以，又因为在上有2个零点，所以 在上有1个零点，在上也有1个零点，故在上有3个零点.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数的零点个数的判定，其中解答中合理利用函数的奇偶性，利用函数零点的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.奇函数是上的增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由为奇函数，且不等式可得，等价于，等价于，再根据是在R上的增函数，即可求解.【详解】因为是奇函数，所以，则等价于，因为，所以.因为在R上的增函数，所以，即.答案选C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，难点在于化简不等式，对于不等式可作如下转化进行化简，转化过程如下：，本题属于中等题.9.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得函数为偶函数，排除C、D，再根据函数值的取值情况，即可得到答案.【详解】由题意，函数满足，即，所以函数为偶函数，即的图象关于轴对称，排除，；当时，所以，排除，故选.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数值的取值范围，合理排除是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.定义新运算：当时，；当时，.设函数，则在上值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得函数 ，分别求得分段函数各段的值域，进而求得函数的值域，得到答案.【详解】由题意得，函数 ，当时，；当时，令，则，故在上的值域为.【点睛】本题主要考查了分段函数的值域的求解问题，其中解答中根据题意准确得出函数的解析式，熟练应用指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】设函数，得到的单调性，再由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，设 ，则在上单调递减，在上单调递增，又因为在上单调递增，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性的判定，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知函数 ，则的零点个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，设，则，作出的图象，结合图象可知，方程有三个实根，进而可得答案.【详解】由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，设，则，作出的图象，如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，则 有一个解，有一个解，有三个解，故方程有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知幂函数的图象经过点，则_【答案】5【解析】【分析】根据幂函数的定义求得，得到，再由函数的图象经过点，求得，即可求解.【详解】由题意，幂函数，所以，即，又由函数的图象经过点，即，所以，则.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，及幂函数解析式的应用，其中解答中熟记幂函数的概念，以及利用幂函数的解析式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】根据并集的运算，即可求得，得到答案.【详解】由题意，可得集合 ，根据并集的运算，即可求得.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合并集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.定义在上的偶函数，当时，则的值域为_【答案】【解析】【分析】根据函数是在上的偶函数，求得，又由时，求得，进而求得函数的值域.【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以，即，当时，所以.又由是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以函数的值域的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，以及正确利用对数函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，进而转化为函数的图象恒在图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，设，因为在上恒成立，所以当时，函数的图象恒在图象的上方，由图象可知，当时，函数的图象在图象的上方,不符合题意，舍去；当时，函数的图象恒在图象的上方，则，即，解得，综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）;（2）【答案】(1)2 (2) 【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质，即可求解；（2）根据实数指数幂的运算性质，即可化简求得结果.【详解】（1） （2） 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质和对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.设集合，.（1）若时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析】(1)先求出A，代入，求出集合B，然后直接求出即可.(2)由题意得，可得，然后分类讨论：当；当；然后直接【详解】（1）由题意得，因为a=2，所以则（2）因为，所以当时，由题意得9-4a0.解得；当时，由题意得解得.综上，a的取值范围为.【点睛】本题考查含参集合的交集和并集运算，难点在于不要遗漏空集情况的考虑，属于难题.19.已知，函数（1）求的定义域；（2）若在上的最小值为，求的值【答案】（1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由题意，函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）由题意，化简得，设，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。【详解】（1）由题意，函数，满足 ，解得，即函数的定义域为。（2）由，设，则表示开口向下，对称轴的方程为，所以在上为单调递增函数，在单调递减，根据复合函数的单调性，可得因为，函数在为单调递增函数，在单调递减，所以，解得；故实数值为【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及与对数函数复合函数的最值问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。20.某地居民用水采用阶梯水价，其标准为：每户每月用水量不超过15吨的部分，每吨3元；超过15吨但不超过25吨的部分，每吨4.5元；超过25吨的部分，每吨6元.（1）求某户居民每月需交水费（元）关于用水量（吨）的函数关系式；（2）若户居民某月交水费67.5元，求户居民该月的用水量.【答案】（1）； （2）户居民该月的用水量为20吨.【解析】【分析】（1）由题意，分别求解出当、和时，居民每月需交的税费为，即可得到函数的解析式；（2）由（1）可知，得到当若户居民某月交水费67.5元时，则，即可求解。【详解】（1）由题意，当时，居民每月需交的税费为；当时，居民每月需交的税费为；当时，居民每月需交的税费为，所以居民每月需交水费（元）关于用水量的函数关系式为；（2）由（1）可知，当时，居民每月需交的税费为，当时，居民每月需交的税费为，当时，居民每月需交的税费为，所以当若户居民某月交水费67.5元时，则，解得吨，即户居民该月的用水量为20吨【点睛】本题主要考查了分段函数应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，分别求解用水量和需交水费的关系式，得到相应的函数的解析式是解本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。21.已知二次函数满足，且，.（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使得在上的图象恒在曲线的上方？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，设，根据题意列出相应的方程，即可求解；（2）设，函数的图象恒在曲线的上方等价于恒成立，分离参数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设，因为二次函数满足，所以的图象关于直线对称，即因为，所以 ，联立，解得，.故.（2）设，的图象恒在曲线的上方等价于恒成立，即恒成立，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，则.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答根据题意转化为恒成立，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.22.已知函数是上的奇函数，.（1）求的值；（2）记在上的最大值为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据函数是上的奇函数，得到 ，即可求得的值；（2）由（1）可得函数的解析式，分别