浙江省杭州市西湖高级中学2020学年高二数学12月月考试题（通用）VIP

浙江省杭州市西湖高级中学2020学年高二数学12月月考试题 第I卷 必修2模块测试(满分100分)一. 选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1直线 在y轴上的截距是 （）A0B1C1D2如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A圆柱 B圆锥 C圆台 D球3已知直线与直线垂直，则a的值是 （ ）A2B2CD4如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）A平行 B相交C异面但不垂直D异面且垂直5已知圆C：x2+y22x=0，则圆心C到坐标原点O的距离是 ( )ABC1 D6下列命题中为假命题的是（ ）A垂直于同一直线的两个平面平行 B垂直于同一平面的两条直线平行C平行于同一直线的两条直线平行 D平行于同一平面的两条直线平行7对于空间向量a（1，2，3），b（，4，6）.若a / b，则实数（ ）A-2B-1C1 D28在四棱锥中，底面，且若M为线段的中点，则直线DM与平面所成的角为（ ）A30B45C60 D90二. 填空题（共18分，每空3分）9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ,表面积为 .10圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是 ，记该圆的圆心坐标为，半径为，则_.11阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写正确结论.如图，在三棱锥中，平面平面，求证：证明：（1）因为 平面平面 （4）所以_ _（2）平面平面 （5）又因为平面（3），平面 （6）所以划线处（4）结论的得出所用的定理为： （请书写定理具体内容）.12若圆C：x2y24x50，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是 ，最短弦长为 .三.解答题（共36分，请写出必要的解题过程和步骤）13（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是DD1、DB的中点，求证：（1）EF平面ABC1D1；（2）EFB1C；（3）求异面直线AD1与EF所成角的余弦值.14（12分）已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B1_；将结果直接填写在答题卡的相应位置上2圆O上是否存在点P使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由15. （12分）在平面直角坐标系中，设过点且斜率为的直线与圆交于，两点. （1)求的取值范围； （2）若=12，求线段的长. 第II卷 杭西高2020学年第一学期青年杯数学竞赛(满分50分)四.选择题（共10分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）16点为圆上任意一点，则+的最小值为（ ）A 4B 6C8D817如图，四边形ABCD为矩形，沿AB将ADC翻折成.设二面角的平面角为，直线与直线BC所成角为，直线与平面ABC所成角为，当为锐角时，有（ ）ABCD五.填空题（共12分，每空4分）18如图1，在矩形ABCD中，AB2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角AEFC(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为_19曲线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是_.20已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的有 个.六.解答题（共28分，请写出必要的解题过程和步骤）21（14分）已知圆C：(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于两点，求证：为定值；(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大22. （14分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，. （1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.杭西高2020年12月高二数学参考答案 第I卷 必修2模块测试(满分100分)三. 选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1直线 在y轴上的截距是 （）A0B1C1DB【解析】令得 ，所以选B.2如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A圆柱 B圆锥 C圆台 D球C【解析】根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定该几何体是圆台，故选C.3已知直线与直线垂直，则a的值是 （ ）A2B2CDC【解析】由题意得 ，选C.4如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直D【解析】由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选D.5已知圆C：x2+y22x=0，则圆心C到坐标原点O的距离是 ( )ABC1DC【解析】【分析】通过配方把一般式化为标准式即可得出圆心和半径，根据两点间距离公式即可得解.【详解】根据题意，圆C：x2+y22x=0，其圆心C为（1，0），则圆心C到坐标原点O的距离d=1故选C【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径，记住两点间的距离公式是关键.6下列命题中为假命题的是A垂直于同一直线的两个平面平行B垂直于同一平面的两条直线平行C平行于同一直线的两条直线平行D平行于同一平面的两条直线平行D【解析】【分析】由面面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的性质定理，可判断B； 由平行公理可判断C；由线面平行的性质可判断D【详解】由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D错误 故选：D【点睛】本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空想象能力和推理能力，熟练掌握线面、面面关系是解决本题的关键.7对于空间向量a（1，2，3），b（，4，6）.若，则实数A-2B-1C1D2D【解析】【分析】根据向量，知它们的坐标对应成比例，求出的值【详解】因为空间向量，若，则，所以,故选D.【点睛】本题考查了空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题8在四棱锥中，底面，且若M为线段的中点，则直线DM与平面所成的角为A30B45C60D90B【解析】【分析】取中点，连接，可知即为所求角，根据长度关系即可求得结果.【详解】取中点，连接为中点，为中点 又底面 底面即为直线与平面所成角又，可知，且本题正确选项：【点睛】本题考查直线与平面所成角的求解，属于基础题.四. 填空题（共18分，每空3分）9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ,表面积为 .【解析】【分析】通过三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球构成的组合体，分别求解两个部分体积，加和即可得到结果.【详解】由三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球的组合体圆锥体积：一个半球体积：几何体体积：本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体体积的求解，关键是能够通过三视图准确还原几何体.10圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标准方程是_，记该圆的圆心坐标为，半径为，则_.【解析】 2+联立方程组解之得圆与直线相切圆的半径故答案为点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径属于基础题11阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写正确结论.如图，在三棱锥中，平面平面，求证：证明：因为平面平面平面平面，平面所以_ _因为平面所以划线处结论的得出所用的定理为： （请书写定理具体内容）.A底面B底面C底面D底面【解析】根据面面垂直的性质定理判定得：BC底面PAC， 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题12若圆C：x2y24x50，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是_ _，最短弦长为 .【解析】x2y30 4.【分析】由圆的几何性质可得圆心与点的连线与垂直时，所截的弦长最短，利用直线垂直的充要条件及点斜式求解即可.【详解】将圆的一般方程化成标准方程为，所以,由题意知，过点的最短弦所在的直线应与垂直，所以,由，得,所以直线的方程为，即,故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及两直线垂直的充要条件，对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.三.解答题（共36分，请写出必要的解题过程和步骤）13（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是DD1、DB的中点，求证：（1）EF平面ABC1D1；（2）EFB1C；（3）求异面直线AD1与EF所成角的余弦值.【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得EFD1B，再根据线面平行判定定理证结论（2）先根据正方体性质得B1CAB，由正方形性质得B1CBC1再根据线面垂直判定定理得B1C平面ABC1D1即得B1CBD1而EFBD1即得结论试题解析：（1）连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B又D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 EF平面ABC1D1（2）B1CAB，B1CBC1又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=BB1C平面ABC1D1又BD1平面ABC1D1B1CBD1而EFBD1EFB1C （3）14（12分）已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B_；将结果直接填写在答题卡的相应位置上圆O上是否存在点P，使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【解析】【分析】（）直接由已知条件可得r；（）由（）可得圆O的方程x2+y2=25，依题意，A（0，5），B（5，0），求出|AB|=，直线AB的方程为x+y5=0，又由PAB的面积，可得点P到直线AB的距离，设点P（x0，y0），解得x0+y0=1或x0+y0=11（显然此时点P不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案【详解】；存在，圆O的方程为：依题意，直线AB的方程为，又的面积为15，点P到直线AB的距离为，设点，解得或显然此时点P不在圆上，故舍去，联立方程组，解得或存在点或满足题意【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题15. （12分）在平面直角坐标系中，设过点且斜率为的直线与圆交于，两点.（1)求的取值范围； （2）若 =12，求线段的长.【详解】（1）设直线方程：ykx+1，由dr，得，解得（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），ykx+1代入（x2）2+（y3）21得（1+k2）x24（k+1）x+70，x1x2+y1y2，得k1，故圆心到直线的距离为0，即直线过圆心，则【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，向量的数量积以及直线与圆的位置关系的应用，向量坐标化结合韦达定理求得k1是关键，是中档题第II卷 杭西高2020学年第一学期青年杯数学竞赛(满分50分)四.选择题（共10分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）16点为圆上任意一点，则+的最小值为（ ）A 4B 6C8D8D【解析】【分析】将所求的看成是点和点之间的距离的平方，所以先求出点所在的圆的圆心到的距离，再减去半径，得到答案.【详解】看成是点和点之间的距离的平方，而点为圆上任意一点，所以圆心到点的距离为，圆的半径，故圆上的点到的距离最小值为，所以其最小距离的平方也为.故选：D.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上动点到定点的距离，属于简单题.17如图，四边形ABCD为矩形，沿AB将ADC翻折成.设二面角的平面角为，直线与直线BC所成角为，直线与平面ABC所成角为，当为锐角时，有ABCDB【解析】【分析】设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DOCE，交CE于O，连结AO，则，由此能求出结果【详解】设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DOCE，交CE于O，连结AO，则， ，DC=2， ，取BC中点E，连结DE、AE，则DEBC，AEBC，又，平面AED，故选：B五.填空题（共12分，每空4分）18如图1，在矩形ABCD中，AB2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角AEFC(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为_【解析】45(或)由图形知，平面,所以就是直线与平面所成的角，在直角三角形中，因为，所以，故填（或）.点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题，处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.19曲线与直线有两个不同的交点，则的取值范围是_.【详解】.如图所示:由题意,直线过定点,曲线表示圆心为,半径的圆的上半部分,当直线过点时,直线与曲线有两个交点,此时直线的斜率为,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离,解得,观察图象可知,实数的取值范围是:.故答案为: .【点睛】本题考查了由图象交点个数求参数的取值范围,数形结合思想,本题属于中档题.20已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的有 个.【详解】 4若为直角，则，设点，则，即，此时，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，圆与圆的圆心距为，则圆与圆的相交，两圆的公共点个数为；若为直角，由于直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心到直线的距离为，则直线与圆相交，直线与圆有个公共点；若为直角，则直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线与圆没有公共点.综上所述，使得为直角三角形的点的个数为.六.解答题（共28分，请写出必要的解题过程和步骤）21（14分）已知圆C：(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于两点，求证：为定值；(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大【解析】(1)圆心C的坐标为(1，0)，圆的半径长为2；(2)证明见解析； (3) 试题分析：（1）把圆的一般方程化为标准方程即可；（2）设出直线方程，联立圆的方程，根据根与系数的关系化简即可证出；（3）试题解析：(1)配方得(x1)2y24，则圆心C的坐标为(1，0)(2分)，圆的半径长为2；(2)设直线l的方程