湖北省宜昌市高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算学案（无答案）新人教A版选修2-1（通用）

31 空间向量及其运算（向量的加法、减法、数乘运算）【学习目标】了解空间向量的概念；掌握空间向量的加、减运算及数乘运算法则，能够正确应用空间向量的加法交换律、加法结合律及数乘的分配律进行运算。【本课重点】空间向量的概念及加法、减法、数乘运算【本课难点】空间向量的理解和运算【教学过程】一、知识要点：1空间向量的概念在空间，具有大小和方向的量叫 ；向量的大小叫做向量的 或 ，记为 ；长度为零的向量叫做 ，记为 ；模为1的向量称为 ；方向相 且模相等的向量称为相等向量；方向相 且模相等的向量称为相反向量；2空间向量与平面向量空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。空间任意三个向量呢？3向量的加、减运算法则及数乘运算法则4向量的加法及数乘运算律：加法交换律： 加法结合律：数乘分配律： 数乘结合律：二、应用举例：例1化简下列各式：（1）+； （2）+； （3）+归纳结论：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：例2已知平行六面体-,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：（1）+； （2）+；（3） +； （4）()例3已知正方体-，点E是上底面的中心，求下列各式中x,y,z的值。（1）=x+y+z；（2）=x+y+z.【课堂练习】1已知空间四边ABCD,连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各式，并标出化简结果的向量。（1）+； （2）+(+)；（3）-(+)2已知正方体-，点E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各题中x,y的值。（1）=x(+)+y；（2）=+x+y；（3）=+x+y【课堂小结】向量的加法可以用平行四边法则也可以用三角形法则，空间向量的加法与数乘向量的运算满足的运算律是：加法交换律，加法结合律，数乘分配律。31空间向量及其运算（第 2 课时）（共线向量与共面向量）【学习目标】了解共线与共面向量的概念，掌握其表示方法；理解共线（共面）向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关问题【本课重点】空间直线向量参数方程，点在已知平面内的充要条件。教学过程：一、问题探究：问题1：回顾平面向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量与非零向量是否共线？对照教材思考，在空间，什么叫平行向量或共线向量？向量与非零向量共线的充要条件是什么？问题2：什么叫向量与平面平行，向量与平面平行与直线与平面平行有何区别与联系？问题3：什么叫共面向量？空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？如何运用向量的方法证明四点共面？二、要点归纳：将对以上问题的思考填入下表：共线向量共面向量定义定理推论运用OABCD三、应用举例：例1如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用、表示、.例2已知四边行ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且=；=，求证：四边形EFGH是梯形。例3如图，已知平行四边形，从平面AC外一点O引向量=k；=k，=k，=k,求证：四点，共面。【课堂练习】已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，确定在下列条件下，点M是否与A，B，C一定共面：（1）=+；（2）=2-31 空间向量及其运算（第 3 课时）（空间向量的数量积运算）【学习目标】掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题，如垂直问题、长度问题及夹角问题。【本课重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。【本课难点】向量运算在几何证明与计算中的应用【教学过程】一、知识要点：1两个向量夹角的范围是 ；2两个向量数量积的定义： ；3空间向量数量积满足的运算律： ；4两个向量垂直的充要件是 ；5向量的模的计算方法是 ；6两个向量的夹角公式是 ；OABC二、应用举例：例1已知在空间四边形OABC中，（如图）OABC，OBAC，求证：OCABDABC例2已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，求的长。【课堂练习】1已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_2已知线段AB，BD在平面内，BDAB，线段AC，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C，D间的距离。3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD。【课堂小结】求向量的数量积一般是先把向量用基底来表示，然后再用数量积公式计算其数量积。31空间向量及其运算（第 4 课时）（空间向量的坐标表示）【学习目标】掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直【本课重点】空间向量基本定理、向量的坐标运算【本课难点】理解空间向量基本定理【教学过程】一、自学探究：类比平面向量的相关知识，结合教材P9295的内容，填空：1空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果 ，这种分解就是空间向量的正交分解.2空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得 . 把叫做空间的一个基底（base），都叫做基向量.3单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量 ，且长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示4空间直角坐标系：选取空间一点O和一个单位正交基底i,j,k，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，5 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，i,j,k为单位正交基底，则存在唯一的有序实数组，使a则称为向量a在单位正交基底i,j,k下的坐标，记作：空间中相等的向量其坐标是相同的6向量坐标与点的坐标的关系向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B，则7向量的直角坐标运算：设a，b，则ab；ab；a；ab8两个向量共线或垂直的判定：设a，b，则a/bab，；abab=0二、应用举例例1已知例2如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE【课堂练习】1、已知，求。2、已知，的起点是，求的终点坐标。3、已知空间中的三点A(1,2,3)，求点D的坐标，使得四边形ABDC是平行四边形。31 空间向量及其运算（第 5 课时）（空间向量运算的坐标表示）【学习目标】掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题【本课重点】夹角公式、距离公式【本课难点】夹角公式、距离公式的应用【教学过程】一、课前知识准备1空间向量的直角坐标运算法则：设，_ _; _;_ _; _;_ _;_ _;二、自学探究：设，探究点1：模长公式：_=_; _=_;探究点2：夹角公式：=_=_说明：利用这个公式可以求出两个向量的夹角，进而可以求异面直线所成的角。探究点3：空间两点间的距离公式： 在空间直角坐标系中，已知点，则=_=_如果用表示与两点间的距离，则=_探究点4：中点