高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理

三角函数恒等变换知识的总结与整理一、基本公式1、必须掌握基本公式(1)两个角的和与差的三角函数同名产品的和与差不同名称产品的和与差(2)双角度三角函数几乎等于1(3)半角三角函数2.理解记忆的其他公式(1)积累与差异同名乘法的余弦值；正弦用于增加不同的名字。留下第一项并添加它。减去剩余的项目。(2)和差积正弦加或减得到不同的名字；余弦有相同的名字。加起来得到第一学期的2倍；减法的结果是尾部项的2倍。(3)通用公式(所有其他用切线表示的三角函数都称为通用公式)(4)辅助角度公式其中：几种常见的特殊辅助角度公式：二。理解的证明1.两个基本公式的证明(1)证明方法：用单位圆上两点间的距离公式证明。计算很复杂。注意在简化中使用 。(2)证明方法：用向量的数积证明单位圆。计算简单方便。用矢量积与两个矢量夹角的关系来证明。或者：用单位圆中的三角函数线证明。作文很难。三角函数线的加减法和平移代换。2.从两角和到差的演变方法：用代换法代替两个角度之和的公式，推导出两个角度的差值公式。3.从余弦到正弦的演变方法：用归纳法将余弦转换成正弦，用展开法推导出正弦两个角的和公式。4.从正弦和余弦导出正切方法：用公式推导正切角和差的公式。5.从两个角度之和推导出双角度方法：代入两个角之和的公式，得到三角函数的双角公式。6.从双余弦角推导半角方法：正弦和余弦的半角公式由余弦的双角公式改为，即通过移项、排序、开方得到。然后正弦除以余弦就可以得到正切的半角公式。此外；切线的另一个半角公式：可以这样理解：特别是在它的演变过程中，我体会到了变换的思想：分子和分母同时乘以一个公式，接近于双角！然后，使用双重角质化简化。7.从两个角的和差推导出乘积和差方法：整体思维：两个角的和与两个角的和的差一定会抵消一些项目。加法会取消最后一项，减法会取消第一项。这类似于完全平方的和与差的加法和减法。它将取消期中考试，留下第一学期和最后一学期两次。但会取消第一个和最后一个项目，留下2倍的中间项目。8.从两个角的和与差推导和差积方法：对于两个角的和与差的和与差，不难形成一个乘积。它可以通过使用膨胀补偿原理来获得。关键是角度的转换。只有一个角落不能展开。因此，引入了一种新的角度变换方法：将单个角度的和转换为两个角度的和与差。在时间上，和差展开原理可以用来获得和差积。9.对普适公式的理解方法：采用双角度公式进行换算，然后巧妙运用分母“1”。这一思想被广泛应用于三角函数的变换中。它值得高度重视。然后同时上下分开。类似地，余弦通过使用双角度公式来转换：=然后熟练使用“1”的转换：同时上下分割。对于切线的通用公式，直接使用双角度公式。10.对辅助角度公式的理解方法：辅助角公式实际上是两个角的和与差的倒数。只有通过某种转化才能变成：形式。对我来说，这种代换方法被称为三角代换方法(代换方法过去被称为代数代换方法)，它需要通过然后，顺序不能用三角函数来表示，所以它不能用形式来表示。因此，共同因素必须与同时相联系。考虑到生成三角函数的环境，我们不妨将常数放入直角三角形：如果分别是直角三角形的两条直角边，斜边为：这个常数显然与和都有关。如果共同的因素是，它变成：此时(在直角三角形中，它是相邻的边和斜边)所以：(在这种情况下，在直角三角形中，它是对边和斜边)所以它变成了：根据两个角之和的正弦公式，我们可以得到：=在直角三角形中：(对边：邻边)当然：如果是，那么然后变成：=所以：=此时：(相对侧：相邻侧)在这个推导中，请注意两种进化是不同的(本质上，这两个角度是互补的)。否则，将出现以下幻觉：如果你注意到这两个角度是互补的，你会得到：让我们分析一下这个结论：右=从归纳公式：左所以结论成立。Iii .实际应用1.角度的评估：说出已知的角度，找出某一倍的角度、半角等数值。(1)找到、和的值方法1:半角公式可直接用于获得：=方法2:从两个角的差异获得：=同样地：=方法3:用60和45之间的差值角获得结果=同样地：=方法4:用直角三角形来绘图和计算15D30CBA如图所示，在直角三角形中，a=30，c=90。将认证中心扩展至认证中心，使认证中心=认证中心。很容易知道：d=15，BC=1，AB=2，AC=；CD=2=类似地，可以获得cos15。=方法五：用归纳法和双角度公式求解：使用归纳法，我们知道：的值，然后我们使用双角公式获得的值，然后我们使用归纳法获得该值。，=同样可以说：=(2)计算值方法1:分别获得和的值：添加两个：=方法二：直接用辅助角公式计算：方法三：巧妙运用公式和双角度公式=方法4:使用矢量计算；将写成：这可以看作是两个向量的乘积。如图所示：在单位圆内，设置向量，向量。那么矢量和之间的角度是45-15=30。从矢量数量积公式：=ABO(3)计算值分析：方法1:很难直接找到值。(当然，半个角度是可用的)；可以考虑是否巧妙转换。考虑常数“1”的变换。=1时，原始公式可改为：方法2:替换：原始公式=方法3:直接代入：方法4:置换和还原得到：原始公式=(4)计算值分析：方法1: Sin 30是一个特殊的角度，关键是要找到sin15sin75的值。用乘积的和与差来计算有点复杂。考虑将sin75转换为cos15，然后使用双角度公式获得：=方法2:用乘积和差直接计算：原始公式=(5)计算值分析：方法1:利用余弦的双角度来制定一个简单的公式：原始公式=然后，利用差已知积和差积的公式，我们可以得到：方法2:使用规则：进行分析。(6)计算值分析：方法1:用一个特殊的三角函数代替常数，然后是原来的公式=2.评估价值(1)在ABC中，的值是已知的。分析：在三角形ABC中，c=180=(2)已知计算值分析：使用完全平方公式、平方关系和双角度公式评估：那就是：从双角度公式来看：(3)已知计算值分析：通过双角度公式评估：=(4)已知，的价值分析：对于要计算的代数表达式，应利用弦变换的思想将切线转化为正弦和余弦之比，然后利用和角公式展开，得到：那就是因此那就是：和,=3.给定值的角度(1)在已知的ABC中，计算角度分析：=4.证明(1)众所周知，是三角形的三个内角。验证：分析：用归纳法证明：证据：那就是：同样：那就是：(2)已知。验证：分析：首先，我们用二元一阶方程的思想分别求出和的公式，然后我们用双角f(3)已知并验证：分析：同时展开然后比较思考：证据：=(4)在直角三角形ABC中，c是直角，分别是a、b、c的对边。验证：分析：显然，两边应该是正方形，然后应该用双角公式来换算2。还有。只需要证明：因为很好。证明了在RtABC中，从双角度公式来看：=那就是(5)已知A、B和C是非直角三角形的三个内角。验证：分析：运用切入和弦的思想进行分析；证据：=还有：和：=那就是：(6)已知A、B和C是三角形的三个内角。验证：分析：用归纳法、积差和和差积公式证明：证据：=还有：=还有：sin(7)已知并验证：分析：将待证明的公式转化为字符串进行分析：进一步扩展：证据：已知条件修改如下：那就是：移动项目：那就是：双方分为：(8)已知，和，已确认：证据：由：扩展：移动项目：那就是：5.简单化(1)简化：分析：常数“1”和双角度公式被巧妙地用来形成一个完全平坦的简化方式：=(2)简化：分析：方法1:首先考虑“弦变换”:即将切线转换成正弦和余弦的比值，然后将切线分开。最后，用双角度公式和和差公式进行简化。=这个问题的解决方案很巧妙：首先把它切成串，然后再把它分开。最后，我们得出双角公式，并用和角公式进行变换。方法2:将常数转换成三角函数，观察括号中的形式，并使用正切和角公式一个简单的公式：=(3)简化：分析：用切线的两个角度和公式进行简化；(4)简化：分析：用平方关系和互惠关系解决；tan54=原始类型=(5)简化：分析：方法1:转换为：代入原公式：同时即将得到：方法2:除以tan ():=(6)简化：分析：使用双角度来制定简化公式：=(7)简化：分析：通过评分后，公式以双角度简化：=6.不等式的证明(1)如果，证明：目前，还没有什么想法：7.新公式的推导(1)请推导三重角公式；以及想法：=8.方程式合成(1)让和成为方程的两个根。(1)价值(2)验证：分析：可从维塔定理获得：代入两个角的切线，公式如下：*那就是：9.与函数的综合(1)找出函数的取值范围分析：使用双角度公式：的范围是，函数的范围是(2)已知功能。问题：(1)函数的最小正周期是多少？(2)函数增函数在什么区间上？(3)函数的图像可以通过如何变换函数的图像来获得？分析：可以简化为：=其最小正周期：函数的单调递增区间为：也就是说，当，函数是递增函数时；该函数可视为通过向左移动2个单位和向上移动2个单位获得的图像。10.与几何的整合(1)如图所示，三个相同的正方形连接形成一个矩形。验证：ABCD分析：本质是证明：谭证据：可通过查看地图获得：谭也注：如果分析是基于初中知识，可以用类似的三角形来证明。即ABDCAD，(三个边成正比)DBAC(2)如图所示：在ADBC的三角形ABC中，垂直脚为d，BD: DC: ad=2: 3: 6。找到BAC的程度分析：这个话题也是用角度之和来分析的。看着这幅画，我们可以看到：tan也注意：如果你用初中的知识来解决问题，用c作为CEAB，用相似的比例来解决问题。计算非常复杂！(3)如图所示，正方形的边长为1，点P和Q在边BC和CD上。当三角形PQC的周长为2时，求PAQ的大小。ABCDPQ分析：可以计算分析。让QD=，Pb=；然后CQ=1，CP=1。* CQ CP PQ=2PQ=源自毕达哥拉斯定理：有组织的：根据该图，=又所以PAQ=注意：如果我们用初中几何知识来解决这个问题，我们将旋转QAD，使AD和AB边重合。证明两个三角形全等。这也很简单。11.生活中的实际应用(1)将半径为半圆形的木材切割成矩形截面的木材，如何切割以最大化矩形截面的面积。分析：明显