权的定义PPT课件

.,1,第一章观测误差及其传播,.,2,？,1-5权与定权的常用方法,？,如图所示，在水准测量中，A、B、C为三个已知点，P为待定点，由3个已知点分别向待定点做水准测量，假设每公里的观测精度相同，而三条水准路线的长度不同，分别为S1、S2、S3，最终P点高程如何计算？取三次测量的平均值可以吗？,设三条水准路线求得的P点高程分别为：,则：,权的原始语义之一，就是秤锤的意思。,广雅释器曰：“锤，谓之权”。,.,3,1-5权与定权的常用方法,一、权的定义,表示各观测值方差之间按比例关系的数字特征权,数学描述：,如选定任一常数,则定义,权之间的比例关系:,权之比=相应方差倒数之比,.,4,1-5权与定权的常用方法,例：已知水准网所有水准路线等精度，且各条路线的距离为,假定每公里观测高差的中误差为,得权,各线路观测高差的中误差：,若,若,得权,权之间比例：,.,5,3.权是用来比较各观测值间精度高低的，是相对精度指标，权的意义不在于其本身数值大小，重要是其之间的比例关系.对于单个观测值而言，权无意义。,1-5权与定权的常用方法,权的性质：,1.选定一个值，即有一组对应的权。反之亦成立。,4.为了使权能起到比较精度高低的作用，同一问题只能选定一个值。,2.一组观测值的权，其大小随着的不同而异，但不论选用何值，权之间的比例关系不变。,6.事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。,5.权与中误差的平方成反比，中误差越小，权越大，表明观测值越可靠。,.,6,1-5权与定权的常用方法,二、单位权中误差,权等于1的观测值称为单位权观测值,权等于1的观测值的方差称为单位权方差，也称为方差因子,权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差,权的单位,基础概念,同类观测值：,权是无量纲，无单位,不同类观测值：,权有单位,例：边角网中设测角中误差单位为“秒”，测边中误差单位为“mm”,若单位取“秒”，则角度的权无单位，边长的权的单位为,若单位取“mm”，则边长的权无单位，角度的权的单位是,.,7,1.设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为，则全长为S公里的距离观测值的方差为取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即：则距离观测值的权为：,1-5权与定权的常用方法,三、定权常用方法,1.距离观测值的权,2.设长度为S公里的距离观测值的方差为，和分别为测距固定误差和比例误差。取单位权方差则距离观测值的权为：,1.设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为，则全长为S公里的距离观测值的方差为取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即：则距离观测值的权为：,.,8,1-5权与定权的常用方法,设每站观测高差精度相同，其中误差均为,如图所示，在水准网中，有n=7条水准路线，现沿每一条路线测定两点间的高差，得各路线的观测高差为，各路线的测站数分别为,由协方差传播律得，各观测高差的中误差为,设单位权中误差为：,由权定义得：,且有关系：,.,9,1-5权与定权的常用方法,2.水准测量的权,若某段高差的测站数，则他的权为,当时，有,C的两个意义：,（1）C是1测站的观测高差的权；,（2）C是单位权观测高差的测站数,各测站观测高差同精度时，各路线的权与测站数成反比,.,10,1-5权与定权的常用方法,由协方差传播律得，各观测高差的中误差为,设单位权中误差为：,由权定义得：,且有关系：,在水准测量中，若已知每一公里的观测高差的中误差均相等，设为已知各路线的观测距离为,.,11,1-5权与定权的常用方法,2.水准测量的权,若某段高差的测站数，则他的权为,当时，有,C的两个意义：,（1）C是1公里的观测高差的权；,（2）C是单位权观测高差的公里数,每公里观测高差同精度时，各路线的权与距离数成反比,.,12,1-5权与定权的常用方法,在水准测量中，究竟是用水准路线的距离S定权，还是用测站数定权，要是具体情况而定。一般来说，起伏不大的地区，每公里的测站数大致相同，可按水准路线的距离定权；而起伏较大的地区，每公里测站数相差较大，则按测站数定权。,.,13,设有，它们分别是次同精度观测值的平均值，若每次观测的方差均为，则的方差为,则算术平均值的权为：,1-5权与定权的常用方法,3.同精度观测值的算术平均值的权,取：,若令，则他的权为,当时，有,C的两个意义：,（1）C是1次的观测的权倒数；,（2）C是单位权观测值的观测次数,.,14,边长观测值的权：,则方向观测值的权：（无单位）。,边长观测值的方差为（、或）,1-5权与定权的常用方法,4边角网中方向观测值和边长观测值的权,边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。,取：,设方向观测值的方差为（），,.,15,1-5权与定权的常用方法,注意：,在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。,权变形公式,适用范围：该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。,.,16,今天你会定权了吗？,.,17,1-6协因数与协因数传播律,一、协因数与协因数阵,为的协因数,为的协因数,为关于的协因数或相关权倒数,.,18,1-6协因数与协因数传播律,由此可得：,协因数阵,协因数阵的特点：,1.主对角元素是随机变量的协因数，即权倒数。,2.非主对角元素是随机变量关于随机变量的互协因数，且有，因此协因数阵也为对称阵。,3.表明随机变量与随机变量独立，不相关。,.,19,1-6协因数与协因数传播律,二、互协因数阵,设有观测向量和，它们的方差阵分别为和，关于的互协方差阵为，令,为的协因数阵,为的协因数阵,为关于的互协因数阵,.,20,1-6协因数与协因数传播律,说明：中的对角元素是各个的权倒数，非对角元素是关于的相关权倒数。,2.中的元素就是关于的相关权倒数。,和为和的权逆阵；为关于的相关权逆阵。,二、互协因数阵,4.因，所以。,.,21,1-6协因数与协因数传播律,三、权阵,设有独立观测值，其方差为，权为，单位权方差为。,X的协因数阵为：,则有：,1.是由独立观测值的权构成的对角阵。,与权逆阵（协因数阵）互为逆阵，通常称为的权阵,.,22,1-6协因数与协因数传播律,1.独立观测值的协因数阵、权阵是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。,2.当观测值相关，其协因数阵是非对角阵，权阵的主对角元素不再是相应观测值的权。,三、权阵,权阵说明：,.,23,1-6协因数与协因数传播律,例：已知观测值向量的权阵为，试求观测值的权,解：,观测值向量的协因数阵,由协因数的定义可知：,说明：当观测值相关，其协因数阵是非对角阵，权阵的主对角元素不再是相应观测值的权。,.,24,1-6协因数与协因数传播律,四、协因数传播律,设有观测值向量和的线性函数,根据协方差传播律：,顾及协方差阵与协因数阵的关系：,化简得：,协因数传播律,广义传播律,1.线性函数,.,25,1-6协因数与协因数传播律,如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数,2.非线性函数,求微分法，线性化,协因数传播律,.,26,1-6协因数与协因数传播律,3.独立观测值,对于独立观测值，假定各的权为则的权阵、协因数阵均为对角阵,若有函数,权倒数传播律,.,27,1-6协因数与协因数传播律,例：设独立观测值的权均为，试求算术平均值的权,解：,由此知：算术平均值之权等于观测值之权的n倍,.,28,1-6协因数与协因数传播律,例：设独立观测值的权均为，试求的权,解：,此时x为带权平均值，带权平均值的权等于各观测值权之和,应用权倒数传播律：,.,29,1-6协因数与协因数传播律,解：,.,30,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式,设有一组同精度独立观测值，且其数学期望为，真误差为，有,观测值的中误差为,当为有限值时得到中误差的估值为,同精度独立的真误差计算中误差,式（2）,式（1）,.,31,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,若为一组不同精度的独立观测值，的数学期望、方差和权分别为和，,由权的定义得：,单位权中误差,若单位权中误差已知，则可求得各观测值的中误差,问题：如何利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差,现设是一组同精度，且权的独立真误差：,？,通过前面介绍我们知道，为了单位权中误差，应需要得到一组精度相同且权为1的独立的真误差，得到此组真误差后就可按照式（1）或（2）求解,设：,权倒数传播律：,式（3）,.,32,由式（2）知,由此可知通过式（3）求得的是一组同精度且权为1的真误差，由于是独立真误差，故也是一组独立真误差，即有,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,理论值,估值,不同精度独立的真误差计算单位权中误差,.,33,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,二、由真误差计算中误差的实际应用,一般情况：观测量真值（或数学期望）不知，因此真误差不知，因此不能直接利用公式求解中误差或方差。然而，某些情况下，由若干个观测量组成的函数，其真值已知，故真误差可知。如，一个三角形内角和为180，三角形闭合差就是三角形内角观测值之和的真误差。,（一）由三角形闭合差求测角中误差,设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形闭合差分别为，他们为真误差，由公式得三角形内角和中误差为：,由于,设测角方差均为,菲列罗公式,.,34,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,二、由真误差计算中误差的实际应用,（二）由双观测值之差求中误差,在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对观测，这种成对观测称为双观测。,设对量，分别观测两次，得独立观测值和权：,第一次：,第二次：,权：,观测值和是对同一量的两次观测的结果，称为一个观测对，这种成对的观测，称为双观测。,设对内精度相同，对间精度不同。,两次观测值的差数：,差数的真误差就是差数本身：,.,35,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,由权倒数传播律得：,由双观测值之差求得的单位权方差,观测值和的方差,第i对观测值平均值的方差,.,36,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,例：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于下表中，试求：（1）每公里观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差；（3）第二段高差的平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差及全长平均值的中误差,.,37,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,解：,（1）单位权中误差（每公里观测高差的中误差）为,.,38,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,（2）第二段观测高差的中误差为,（3）第二段高差平均值的中误差为,.,39,1-7由真误差计算中误差及其实际应用,（4）全长一次观测高差的中误差为,全长高差平均值的中误差为,.,40,内容小结,1.协因数传播律：,2.协因数传播律的应用：,权倒数传播律,（1）“权倒数传播律”及其应用条件,