渐近方法-—函数的展开PPT课件

、1、光学中的数学方法、 (渐进方法)、演讲老师：白环联系电话：ailto:blun、2、第二章渐进方法，本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐进展开分析和常微分方程式的渐进解法大部分。 本章旨在提高数学分析能力，将理论应用于解决实际问题的能力。 该方法广泛应用于力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域。 渐近计算是一种数学计算的近似方法，它在一定条件下发展，它结合数值方法可以提高计算的精度和计算速度，尤其在非线性问题的处理中，渐近方法具有重要的地位。3，1，电平符号2，渐近展开3 .渐近展开式的运算4 .积分的渐近展开式5，最陡降法6 .恒定相位法7 .常微分方程式的渐近解，第二章渐近方法，4，特定的特殊函数具有积分式，因此如果这些函数是微分方程式的解，则得到用加变换或傅立叶变换的积分式表现的解因此，求解积分渐近展开式的问题在解析函数理论中起着特别重要的作用，可以得到积分解的另一表达式，称之为渐近方法。 此外，总是定义比较函数前进到某一极限的性质：例如，2渐近方法，2.1量化级符号：1 )同量化级、5，例如，函数f(x )最多与g(x )相同。 2渐近方法，2.1量化级符号，2 )量化级最大的是，如果存在某个常数a，则满足定义域d中某个内点x0附近v中的所有x，6，例如，2渐近方法，2.1量化级符号，3 )量化级最小的是，如果存在任何一个，则存在定义域d内点x0总是存在的附近且全部满足含义是f(x )为有界，含义是f(x )为零。7，2.2渐近展开，下面给出渐近展开的定义及其性质，并在扩展的复平面讨论。 另一方面，若为渐近序列、区间d中定义的连续函数序列，则是d中的固定点，如果有被固定的n个点，则称为点的渐进序列。 渐近序列可以是有限项也可以是无限项。 例如：是到零点的渐近序列。 2渐近方法，无限渐近序列。8、2、渐近展开式是点的渐近序列，如果是给定的函数，则称为点上的渐近展开式。 注意：渐近展开式与函数的级数展开式不同：对于确定的z值，渐近展开式的项数无限多时，得到的级数一般会发散，但如果满足渐近展开式的定义式，取此时确定的项数n，则函数得到非常好的近似。 2.2渐近展开、2渐近方法、9、例1 :求出当时的积分值。 求时的渐近展式。 解：馀项：2.2渐近展开，2渐近方法：10，因此，取展开公式的前n项，省略馀项，其误差水平小于取的最后项，符合渐近展开公式的定义，2.2渐近展开，2渐近方法，注意：此水平不会收敛于有限的x值。 但是，如果取决定的项目数，则很好地近似于函数。 仅在一个项目中，给出的相对误差为1/x，结果虽然大致，但是能够使用。11、3、展开式系数：当时的渐近展开式的系数是证明略、2.2渐近展开、2渐近方法、4、展开式的结构是在区域d中有定义、有定义而不为零时到n项为止的渐近展开式。 当时的渐近展开式的系数是四，展开式的构成，当时的渐近展开式的系数是四，展开式的构成，当时的渐近展开式的系数是四，展开式的构成，是十二，证明：首先是渐近序列。 根据以下定义，如果z存在于其中，2.2渐近展开，2渐近方法，因此：并且：并且，因此，一个邻域是：13。因此，分别以该方式定义的2.2渐近展开、2渐近方法、5、唯一性为d处的已知渐近序列，如果当时是至n项的渐近展开，则该展开式是唯一的。 注意，该定理仅表示由同一已知渐近序列表示的展开表达式的唯一性。 然而，多个不同的渐近序列可以对应于相同函数的渐近展开方程，它们可以不同，或者可以收敛或发散。 相反，一个已知渐近展式可以表示多个函数。14、的渐近幂级数展开式记为6、函数的展开式、2.2渐近展开、2渐近方法。 其中一个重要的特殊情况是d，如果d，当时是15，2.3渐近展开方程的运算，d，到此为止，讨论n项如何：1 .相加：2 .乘法：2渐近方法，本节中的渐近展开方程的一般运算，由于在实际应用中应用了函数，因此以下将该函数定义为渐近序列：16、3 .除法：即除法保持直到两个函数的渐近展开方程式分别除以n项为止。 推论：2.3渐近展式运算，2渐近方法：17，4 .积分：当时，其中积分沿着从开始的直线路径。 推论：时，2.3渐进式运算，2渐进方法，5 .求导：时，如果当时存在于d中，如果当时存在于d中，如122空气空气空气653 19，推论2 :如果当时存在于相同地区中，如果当时存在于d中对于分析函数，如果该分析函数存在于某个区域中或存在于其中，则可基于对2.3渐近展开方程的定义和相关性计算规则，针对2.3渐近展开方程的计算，检讨分析函数理论中常用的积分渐近展开方程。 20、在获得积分渐近展式的方法中，将积分函数的一部分展开成级数，重复形式上对每个项进行积分的2种支部的点。 另一方面，假设每项的积分法：瓦特森校正处理：2.4点的渐近展开式，2渐近法：21，式对Re(z)0成立，在此在定义域的两侧进行解析，在实轴上一致。 应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开公式。 变量置换，命令，解：命令，例：求当的函数的渐近展式。 2渐近方法，给定值的上述变换给出两个解s(u )和(u )。 其中，由于2.4积分的渐近展开方程，即，22，两个解分别位于最大值s=1的两侧，所以2渐近方程和2.4积分的渐近展开方程能够被证明。 而且，当时在有界、23、2渐近法、2.4积分的渐近展式中，与的关系：其馀应证明的是其中的小之一。请再替换一次。 正在被分析。 因为、有、即和的附近有两个分支。 根据复函数理论，由于在、和、附近存在分析的逆函数并且当前、点不等于零，所以在、24、2渐近法、2.4积分的渐近展开方程式中注意到另一个足够小，在指令、附近存在分析的逆函数，诸如方程式中、处理的保留数、易于计算等将最后一个方程式载入被积分方程式中，并在形式上对每一项进行积分，华生将其引理，有时在、25、23渐近方法、2.4积分的渐近展开方程式、式中，二、支部积分法：的条件下得到。 得到的积分与原积分形式相似，可以重复相同的过程。 对于、26、2渐近方法、2.4点渐近展开公式、(4)所有正，(5)如此，存在，此时、27、2渐近方法、2.4积分渐近展开公式、指令、当前点、定理的假设，并重复应用它们，如28、2渐近方法、2.4点渐近展开公式但是，在这种情况下，可以采用以下两种方法，在此不作说明。以上，支部积分法的上限，只适用于的积分，现在认为a和b有限。 然后，例如，时、29，2渐近法，2.4积分的渐近展开式，时、因此30，最徒弟下降法的想法：首先，命令：2渐近法，2.5最陡峭的下降法，积分，c，复平面z，上面的路径，其中平缓的变化，f和g都具有适当的正则性。 的双曲馀弦值。 其中，u和v是实函数。 如果s较大，则沿着积分路径的微小位移会引起v的微小变化，注意：31、2.5的骤降法，即最为徒弟下降法的本质是尽可能利用在该路径上使积分函数最大化、将v设为常数的积分路径。 由此，保证了乘积函数的变化降低得最快，即仅与积分值为u最大的点(鞍点)附近有关，能够进行渐近计算。 事实上，使等于常数的路径是u变化最快的路径。 以下证明这一点： 2渐近法，中多项快速振动。 然而，已经明确的是，如果积分路径被选择并且常数v被设置为常数，则振动迅速消失，并且被乘积函数改变的最快的部分是逆函数，然而，其主要贡献部分是来自将u设置为最大点的附近。 因此，该方法的本质在尽量改变积分路径并通过u的最大点上，在等于常数的路径上行进。32，2.5最大俯冲法，2渐近法，证明：当由此等于增益：常数(即关注柯西-黎曼关系： )时，此方程指示极值条件，点，等于常数的方向也是u，最大，变化方向。33、2.5最大下降法、2渐近法、用于搜索的最大点、指令、因此仅在这一点上取极值的点称为驻点。 有曲面、极大极小值的条件是现在，即，所以u因为解析函数满足拉普拉斯方程式，所以这里的驻点不是极值点而是鞍点，连接曲面的“谷”和“山脊”表示沿着山脊上升时谷下降的同时u最大变化的方向。 对于我们来说有意义的是谷的下降路径，也就是最贫穷的下降路径，因为只有这个路径在鞍点附近对积分有着显着的贡献，所以该渐近计算的方法被称为最贫穷下降法。34、2.5表示最大下降法，2渐近法，鞍点，如果点是鞍点，即该点的等于常数的曲线方程，则通过或t表示实数，t表示正下降路径，t表示负上升路径。 然后，点的Tailor展开表达式，当前、和2.5的最大陡降方法，2渐近方法、可得：由此产生的实部、虚部、时等线如图所示。 如果是的话，图形会更加复杂，有三个以上的山谷，鞍子可能会相遇。36，2.5最陡的下降法，2渐近法，现在从无穷远开始的积分路径是积分收敛的要求，可以假定起点和终点可以变形为谷中的路径。 积分路径尽量变形为陡降路径，沿着谷底在鞍点处越过谷进入下一个谷。 通常，这样的路径由一系列的曲线组成，它们分别是从鞍点到无穷远或奇点。 另外，以下假设计算这种路径对积分的贡献： 为此，设定，其中。 因此，最陡的下降路径由下式给出，或是(t为正的实数)，这里取主值。 和、37、2.5最陡下降法、2渐近法、上式的不同符号对应从鞍点出发的两个最陡下降路径。 如果“-”与第三象限的路径相关联，则“-”与第一象限的路径相关联。 对于一个负符号，如考虑到负符号时所表示的路径所示，所获得的积分是对应于负符号的路径，其中，对于方程取负符号的z值。 另一条路径的积分。 其中，是通过上式取正数的z值。38，完整的级数太多，我们只导出第一项。因此，当使c变形为通过鞍点时，其方向如右图所示，由于能够用2.5急降法、2渐近法、和表示，所以假设函数f缓慢变化，所以能够与和一起利用且能够代替。 推导渐近计算的积分公式。 可以得到瓦特森、负相对应的路径，该式是最徒弟下降法得到的积分的渐近展开。 如果c穿过鞍点的方向与前图相反，结果可以相反。 39，例如：求阶乘的斯特林(Stirling )表达式。 (即阶乘渐近展式)解：知道阶乘积分式，符合前一积分形式，积分路径c为实轴。 2.5最大下降法，2渐近法同时成立，这种积分形式不适合于最大下降法，只考虑s，但用sz代替z是实数。 请注意，有马鞍，在那里。 40，时：所以积分路径应该是和(零点是奇点)，公式：2.5的最陡下降法，2渐近法，这就是斯特林公式。41、2.6定位相位法、积分：2渐近法、参数k大时可以定位相位法求解。 从积函数的形式、式、上看，可以认为是波的相位。 k大时，表示快速振动。 在积分过程中，这种振动正负相抵，只有这一部分是平坦的，对积分的主要贡献在点附近。的点称为定位相位点，因此将这样邻接的积分以相位定位，用结果近似区间整体的正确结果的方法称为定位相位法。 为了证明对积分的主要贡献，首先看变量z，是实变量x的情况。 函数，的驻留点是使用，的点，称为的n级驻留点，如、和。42、考察积分：2.6定位相法、2渐近法、积分区间(a、b )内没有f(x )存在点，如果g(x )在(a、b )内微小，则可以进行积分变量置换，上述积分可以用f(x )反转x表现为f的函数，因此在积分区间内微小。 在分部的点处，得到的43，2.6定位相位法，2渐近法，等号的右边第一项成为零，其级别以右边第二项的形式，可以与原来的积分一样，以微力进行分部的积分，积分后的级别也是如此，但是因为在此之前有系数，所以右边第二项的级别，例如上式，进而积分区间内存在一级定位点，因此失去微小性，无法直接进行支部积分。 在下一个积分中，假设f为积分变量，则其中：命令、2.6定位相位法、2渐近法和定位点的极限在积分区间中也是微小的。 因此，当前积分的级别也考虑前面的积分并且用Taylor级数展开时，因为省略了.45、2.6定位相法、2渐近法、后面的高阶项并且计算和g(x )是区间内x的渐变函数，所以可以将上述积分总体上写为指令、重命令，同时考虑到时积分极限，46、2 因为可以是2渐近法、得、时、第一项的量，所以与不包含驻留点的区间相比较，当时包含驻留点的区间有助于积分是重要的。 总的来说，这可能是正的或负的，通常，上述结果表示如果区间内具有多个初级驻留点，则将每个