第六章定积分的应用电子教案第二节_第1页
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文档简介

一、平面图形的面积,二、体积,三、平面曲线的弧长,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,在直角坐标系下，,积分变量一般,取x或y.,取x为积分变量时，,面积元素为小竖条，,其面积可用如,图所示的小矩形近似：,故面积为,取y为积分变量时，,面积元素为小横条，,用如图所示的小矩形近似：,故面积为,其面积可,例1计算由两条抛物线：y2=x、y=x2所围成的图,形的面积.,例2计算抛物线：y2=2x与直线y=x4所围成的,图形的面积.,例3求椭圆,所围成的图形的面积.,例4计算摆线,的一拱与x轴所,围成的图形的面积.,摆线动画,例5计算星形线,所围成的图形的,面积.,2.极坐标情形,求由曲线=()及,射线=,=围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,设()C,()0,则对应小区,例6计算阿基米德螺线=a(a0)上相应于从,0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.,例7计算心形线=a(1+cos)(a0)所围成的图,形的面积.,例8计算双纽线2=2a2cos2(a0)所围成的图形,的面积.,曲线名称：伯努利双纽线轨迹：|MA|MB|=a2,直角坐标方程：(x2+y2)2=2a2(x2y2),二、体积,1.旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋,转一周而成的立体.,这直线叫做旋转轴.,例如，,求如图所示的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体,的体积.,体积元素为,体积为,例9求如图所示的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋,转体的体积.,例10计算由摆线,的一拱与x,轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的,体积.,2.平行截面面积为已知的立体的体积,如右下的立体为平行截面面积为已知的立体，,其特,点是：,A(x)是已知的.,用垂直于x轴的平面截立体时，所得截面面积为,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,a,b上连续,A(x)在,例11下面的立体的底为xOz面上的椭圆,在x处的截面为矩形，其高的方程为y=3+2sinx，求,其体积.,例12正劈锥体的底为xOz面上的圆,在x处的截面为三角形，其高为h，求其体积.,三、平面曲线的弧长,定义在曲线弧,上依次任取分点A=M0,M1,Mi-1,Mi,Mn=B，,并依次,连接相邻的分点得一折线.,当这,n个小线段长度的最大值0时,此折线的长的极限存在，,则称此,极限为曲线弧,的弧长，,并称,此曲线弧是可求长的.,即,定理光滑曲线弧是可求长的.,弧长的计算公式,情形一,设曲线弧的方程为y=f(x)(axb)时，,(弧微分)为,弧长元素,所以曲线弧的长度为,曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分)为,因此所求弧长,情形二,曲线弧极坐标方程给出:,分)为,因此所求弧长,情形三,则得弧长元素(弧微,令,例13两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量,下垂成悬链线.,求这一段弧长.,悬链线方程为,例1
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