湖北省天门市、潜江市、应城市2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）

2020学年度第二学期期中联考高一数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知是锐角，那么2是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 小于的正角D. 第一象限或第二象限【答案】C【解析】是锐角,，是小于正角2.下列三角函数的值大于零的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义来判断符号。【详解】因为在第三象限，所以；因为在第一象限，所以；因为在第四象限，所以；因为，所以选B选项。【点睛】先确定角的终边所在象限，再根据三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦即可判断正负。3.下列命题成立的是（ ）A. 若是第二象限角，则B. 若是第三象限角，则C. 若是第四象限角，则D. 若是第三象限角，则【答案】D【解析】【分析】先确定角终边所在象限，再根据三角函数的定义判断角的正弦、余弦、正切的符号，即可得出答案。【详解】若是第二象限角，因为，所以，故A错误；若是第三象限角，因为，所以，故B错误；若是第四象限角，因为，所以，故C错误；若是第三象限角，因为，所以，故选D选项。【点睛】角的正弦、余弦、正切的正负可以用三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断。4.下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式即可判断。详解】由诱导公式可知，故选C选项【点睛】在用诱导公式时，先要将负角化为正角，再把大角化小角。注意判断角的三角函数的正负。5.下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由周期公式即可判断。【详解】的周期；的周期；的周期；的周期；故选A选项。【点睛】函数、的周期。6.下列关于函数的单调性的叙述，正确的是（ ）A. 在上是增函数，在上是减函数B. 在上是增函数，在和上是减函数C. 在上是增函数，在上是减函数D. 在上是增函数，在上是减函数【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的单调性进行求解即可。【详解】函数的单调增区间是单调减区间是函数在是增函数，在和上是减函数；故选B选项。【点睛】由条件利用正弦函数的单调性求得此函数的单调区间。7.下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式对不等式两边进行化简，根据正弦、余弦、正切函数的单调性即可做出判断。【详解】函数在区间上单调递减，且 即，即正确；函数在区间上单调递增，且，即错误；函数在区间上单调递增，且，即正确故选A选项。【点睛】比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较。8.为了得到的图象，只需把余弦曲线上的所有点( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由函数的图像变换即可得到答案。【详解】把余弦曲线的所有点向左平移个单位长度，得到的图像故选C选项。【点睛】解决本题的关键是要掌握函数图像的变换规律。9.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据数量积公式即可得出。【详解】 即,故选C选项【点睛】解决本题的关键在于向量的数量积公式和向量的模长的运用。10.已知，那么的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 11.函数的单调递增区间是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，选D.12.在中，则的解的个数为 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求出，结合正弦函数值知识，从而可得出结论。【详解】根据正弦定理可得，即并且所以B可能是锐角也可能是钝角。故选C选项。【点睛】已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：1.如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一。2. 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角。二、填空题（把答案填在答题卡上对应题号后的横线上）13.若，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】利用数量积的公式对进行化简，再结合已知条件即可得出夹角。【详解】又即故与的夹角为。【点睛】本题含有，和的等式中，常利用消元思想计算的值。14.在中，则最短边长等于_【答案】【解析】【分析】利用三角形内角和定理求出第三个角，再由大边对大角，小边对小角法则可知最短边为边，根据正弦定理即可求得最短边长。【详解】，即边为最短边；根据正弦定理可得故最短边长为【点睛】解题时可利用 “大边对大角，小边对小角”法则来判断最小边。15.等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】由等腰三角形可得，进而借助于诱导公式及二倍角公式化简求值即可.【详解】如图，在等腰三角形ABC中，A为顶角由题意可知：.故顶角的余弦值为。【点睛】解决本题的关键在于二倍角公式以及诱导公式的运用。16.已知，那么的值为_【答案】【解析】【分析】将已知条件的两个等式分别平方在相加，利用平方关系及两角和的正弦公式求出的值。【详解】两式平方相加得：即故的值为。【点睛】解决三角函数中给值求值题，一般通过观察，从整体上处理，利用诱导公式、倍角公式、两角和、差公式进行化简。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。17.如图，在中，已知，边和所夹的角为（1）关系式是否成立；（2）证明或者说明（1）中你的结论【答案】(1)成立；(2)见证明【解析】【分析】（1）关系式为余弦定理的变形，则成立。（2）用向量法即可得出证明。【详解】解：（1）关系式是成立的（2）证明：如图，设 则成立【点睛】本题考查余弦定理的证明，可采用向量法来证明，关键在于的变形。18.设函数.（）求的最小值，并求使取得最小值的的集合；（）不画图，说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.【答案】（）的最小值为，此时x的集合（）见解析【解析】（1）当时，此时所以，的最小值为，此时x的集合.横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得；然后向左平移个单位，得（1）利用两角的和差公式，辅助角公式将三角函数化成，若时，当时取最小值；（2）要熟练平移变换，伸缩变换.【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.19.已知（1）请通过降幂化简；（2）求函数在上的最小值并求当取最小值时的值【答案】(1) (2) 时，的最小值为【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本公式，二倍角公式化简函数为一个角的三角函数的形式。（2）通过，得，再利用函数单调性，求出函数的最小值及取最小值时的取值。【详解】（1） （2）由，得当，即时，的最小值为.【点睛】（1）化简三角函数式时，通过看角之间的差别和联系，可把角进行合理的转化，一般采用降幂公式、两角差与和的三角函数式、平方关系等来实现。（2）求形如的最值问题，关键是求出 的单调区间，一般采用“换元”法整体代换，将看作一个整体，可令，即通过求的单调区间而求出函数的单调区间，若则可利用诱导公式将的系数化为正数。20. （2020湖北）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（1）求角A大小；（2）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.（2）由Sbcsin Abcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.21.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量 ，点点（1）若 ，且，求向量的坐标；（2）若 ，求的最小值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据向量共线定理和模长计算公式，即可得出。（2）将代入，结合二次函数求出最值。【详解】。解：（1），又， 又 由得，当时，（舍去）当时， （2）由（1）可知当时，【点睛】对于型求最值问题，可令，转化为二次函数来求最值。22.如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由【答案】(1) AB为3米 OB为2米 (2) 当视角MSN取最大值时,cos=.【解析】(1)如图,作SCOB于C,依题意CSB=30,ASB=60.又SA=,故在RtSAB中,可求得AB=3,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.在RtSCO中,SC=3,CSO=30,OC=SCtan 30=,又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB为2米.(2)方法一:如图,以O为原点,以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系,连接SM,SN,设M(cos,sin)