2020届高三数学一轮复习 专题四 解析几何第一讲 直线与圆

专题四解析几何第一讲直线与圆一、选择题1已知直线l1的方向向量a(1,3)，直线l2的方向向量b(1，k)若直线l2经过点(0,5)且l1l2，则直线l2的方程为 ()Ax3y50 Bx3y150Cx3y50 Dx3y150解析：l1l2，ab0.13k0，k，b.l2方程为yx5，即x3y150.答案：B2若直线1通过点M(cos ，sin )，则 ()Aa2b21 Ba2b21C.1 D.1解析：直线1通过点M(cos ，sin)，我们知道点M在单位圆上，此问题可转化为直线1和圆x2y21有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有11，故选D.答案：D3(2020福建)以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x0解析：抛物线y24x的焦点为(1,0)，满足题意的圆的方程为(x1)2y21，整理得x2y22x0，故选D.答案：D4(2020江西)直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是 ()A. B.0，)C. D.解析：圆心(3,2)到直线的距离d，则|MN|222，解得k0，故选A.答案：A5(2020湖北)若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是()A12，12 B1，3C1,12 D12，3解析：y3变形为(x2)2(y3)24(0x4，1y3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示若直线yxb与曲线y3有公共点，只需直线yxb在图中两直线之间(包括图中两条直线)，yxb与下半圆相切时，圆心到直线yxb的距离为2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范围为12b3.故选D.答案：D二、填空题6(2020全国)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：1530456075其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)解析：两直线xy10与xy30之间的距离为，又动直线l1与l2所截的线段长为2，故动直线与两线的夹角应为30，因此只有适合答案：7(2020四川理)若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析：如图所示，在RtOAO1中，OA，O1A2，OO15，AC2，AB4.答案：48(2020课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_解析：由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3.过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30，联立解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r，所以圆C的方程为(x3)2y22.答案：(x3)2y229(2020山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：设圆心A(x0,0)，x00，r|AC|x01，|BC|，由直线l方程可知BCA45，所以r2，x03，lAB，kAB1，AB方程为y1(x3)，即xy30.答案：xy30三、解答题10已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为yx，直线l的斜率k，因为|m|(m21)，所以|k|，当且仅当|m|1时等号成立所以，斜率k的取值范围为.(2)不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆C的圆心为C(4，2)，半径r2.圆心C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧11已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由解：设直线l的方程为yxb，代入圆的方程x2(xb)22x4(xb)40.即2x2(2b2)xb24b40.(*)以AB为直径的圆过原点O，则OAOB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y20，即x1x2(x1b)(x2b)0.2x1x2b(x1x2)b20.由(*)式得x1x2b1，x1x2b24b4b(b1)b20.即b23b40，b4或b1.将b4或b1代入*方程，对应的0.故存在直线l：xy40或xy10.12已知直线l：2mxy8m30和圆C：(x3)2(y6)225.(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程(1)证明：设圆心C到直线l的距离为d，则有d整理可得4(d21)m212md290为使上面关于m的方程有实数解，12216(d21)(d29)0，解得0d.可得d5，故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交(2)解：由(1)可知0