湖北省＂荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟＂2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确的答案填涂在答题卡上）1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ,故选B考点：集合的基本运算【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系2.若为实数，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可【详解】对于A：若c=0，则不正确，对于B：若a0b，则不正确，对于C：若ab0，则-a-b0，则故C正确，对于D：若ab0，则a2b2，则，即，故D不正确，故选：C【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积【详解】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R28，解得R，则该圆柱的表面积为：12故选：A【点睛】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查4.已知是不共线的向量，且三点共线，则（ ）A. -1B. -2C. -2或1D. -1或2【答案】D【解析】【分析】A，B，C三点共线，可得存在实数k使得k，即可得出【详解】A，B，C三点共线，存在实数k使得k，k，解得1或2故选：D【点睛】本题考查了三点共线、方程思想方法、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.已知，则的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为 2（sinx1）2，再由sinx1，结合二次函数的性质求出函数f（x）的值域【详解】函数f（x）cos2x+2sinx1sin2x+2sinx2（sinx1）2，sinx1，当sinx1时，函数f（x）有最大值等于2当sinx时，函数f（x）有最小值等于2故函数f（x）的值域为1，2，故选：A【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，二次函数的性质的应用，属于中档题6.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【详解】1，1,则a，b，c的大小关系为故选：D【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.已知向量满足，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可【详解】|2，（）3，223，1，向量在方向上的投影为故选：C【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目8.若是三角形的一个内角，且对任意实数，恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知需函数的图象开口向上需cos0，同时判别式小于0，综合求得cos的范围，从而得到的取值范围【详解】根据题意可知x2cos4xsin+60恒成立，解得cos1，且是三角形的内角，（0，）故选：C【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，函数恒成立问题，二次函数性质等考查了学生对函数思想的运用，三角函数基础知识的运用9.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. B. 直线是的图象的一条对称轴C. 的最小正周期为D. 为奇函数【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的周期性，奇偶性，对称性分别进行判断即可【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，即g（x）sin2（x）sin（2x）sin（2x）cos2x，则g（）cos（2）cos，故A错误，令2x=得x=,k=1时，是的图象的一条对称轴,故B正确；g（x）的最小正周期T，故C错误，Dg（x）cos（2x）cos2xg（x），即g（x）是偶函数，故D错误，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图” 中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角为，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为，则锐角（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设 大正方形的边长为a,小正方形边长为b,利用几何图形找到a,b与的关系即可求解【详解】设 大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则=b,阴影三角形面积为小正方形面积为又阴影部分与大正方形的面积之比为所以整理得1-,解得故选：D【点睛】本题考查三角函数的实际应用，二倍角公式，熟记公式是关键，是中档题11.设锐角的三内角所对边的边分别为，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得02A，且3A，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可【详解】锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B2A，02A，且B+A3A，3AA，cosA，a2，B2A，由正弦定理可得：2cosA，得cosA2cosA，则b的取值范围为（，）故选：A点睛】此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围12.定义在上的偶函数满足，当时，设函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由函数图象的性质得：f（x）的图象关于直线x1对称且关于y轴对称，函数g（x）e|x1|（1x3）的图象也关于直线x1对称，由函数图象的作法可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x1对称，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为4，得解【详解】由偶函数f（x）满足 （1+x）f （1x）可得f（x）的图象关于直线x1对称且关于y轴对称，函数g（x）e|x1|（1x3）的图象也关于直线x1对称，函数yf（x）的图象与函数g（x）e|x1|（1x3）的图象的位置关系如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x1对称，则f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为4，故选：B【点睛】本题考查了函数图象的性质及函数图象的作法，属中档题二、填空题（请将正确答案填在答题卡相应位置上）13.平面向量与的夹角为60，则_【答案】【解析】【分析】设（x，y），利用1，2x21cos60，解出即可【详解】设（x，y），则1，2x21cos60，解得x，y|2|2故答案分别为： 2【点睛】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.已知不等式的解集为或，则_【答案】3【解析】【分析】根据不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb，可知1，b是方程ax23x+20的两个根，利用韦达定理可求a，b的值，进而可求答案【详解】由题意，不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb1，b是方程ax23x+20的两个根a+ab3，ab2a1，b2a+b3故答案为：3【点睛】本题的考点是一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，属于基础题15.在梯形中，将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为_【答案】【解析】【分析】将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB1，高为BC2的圆柱减去一个底面半径为AB1，高为BCAD211的圆锥，由此能求出该几何体的表面积【详解】在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB1，高为BC2的圆柱减去一个底面半径为AB1，高为BCAD211的圆锥，几何体的表面积为：S12+212（5）故选：D【点睛】本题考查旋转体的表面积的求法，考查圆柱、圆锥性质等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题16.在中，角所对的边分别为，,的平分线交于点，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】由题意得acsin120asin60csin60，即aca+c，得1，得2a+c（2a+c）（）323当且仅当，即ca时，取等号，故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）17.如图，将棱长为2的正方体沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体（）求该四面体的体积；（）求该四面体外接球的表面积【答案】（）【解析】【分析】（）利用正方体体积减去截去部分体积即可求解（）利用正四面体与正方体的外接球一致求解【详解】()三棱锥的体积，切去部分的体积为正方体的体积为四面体的体积()正方体的棱长为2， 正方体的体对角线长为，该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线外接球直径，半径，外接球表面积为【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题18.在中，分别是角所对的边，且（）求角（）若，求的周长的取值范围【答案】（）【解析】【分析】（）利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C；（）余弦定理得，c2a2+b2-2abcos120a2+b2+ab，再利用基本不等式，可得a+b，即可求ABC的周长l的取值范围【详解】()由条件得，所以所以为三角形内角，所以() 由余弦定理得，而，故所以又，所以，即【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的周长的计算，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19.如图，是边长为2的等边三角形，点分别是的中点.（）连接并延长到点，使得，求的值;（）若点为边上的动点，多长时，最小，并求最小值【答案】（） 见解析【解析】【分析】() 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，向量坐标化即可求解；() 设向量运算表示为t的函数求解即可【详解】()如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，设，()设，设，得则当时，取最小值，此时【点睛】本题考查向量坐标运算，向量共线的应用，考查计算能力，是中档题20.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）（）求的函数关系式；（）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（）（）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元【解析】【分析】（1）根据题意可得f（x）15w（x）30x，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润【详解】（）由已知 ()由()得 当时，；当时， 当且仅当时，即时等号成立因为，所以当时，当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.若定义域为的函数是奇函数（）求的值;（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（），【解析】【分析】（）由函数是奇函数，求出参数a，b的值（）利用函数的单调性得到的等价命题，再利用不等式恒成立的条件，解出即可【详解】（）因为是上的奇函数，所以，即，解得，从