2020届高三数学 导数的简单应用期末复习测试卷 文

导数的简单应用(40分钟)一、选择题1.(2020成都模拟)已知函数f(x)满足f(2x-1)=12f(x)+x2-x+2,则函数f(x)在(1,f(1)处的切线是()A.2x+3y+10=0B.2x-3y+10=0C.2x-y+2=0D.2x-y-2=02.(2020重庆模拟)函数f(x)=ax2+bx(a0,b0)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,则8a+bab的最小值是()A.10B.9C.8D.323.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是()A.3B.2C.1D.04.(2020福建高考)设函数f(x)的定义域为R,x0x00是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点5.设在函数y=xsinx+cosx的图象上的点(x0,y0)处的切线斜率为k,若k=g(x0),则函数k=g(x0),x0-,的图象大致为()二、填空题6.(2020江西高考)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.7.若函数f(x)=x2-12lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是.8.(2020阳泉模拟)已知函数f(x)=ex+x-1,x0,-13x3+2x,x0,给出如下四个命题:f(x)在2,+)上是减函数;f(x)的最大值是2;函数y=f(x)有两个零点;f(x)432在R上恒成立.其中正确的命题有.(把正确的命题序号都填上)三、解答题9.已知函数f(x)=x3-3ax(aR).(1)当a=1时,求f(x)的极小值.(2)若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.10.(2020宿州模拟)已知函数f(x)=1-m+lnxx,mR.(1)若m=1,判断函数在定义域内的单调性.(2)若函数在(1,e)内存在极值,求实数m的取值范围.11.(2020广东高考)设函数f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间.(2)当k0,b0,所以2a+b2=1,8a+bab=8b+1a=8b2a+b2+2a+b2a=8ab+4+1+b2a=8ab+b2a+528abb2a+5=9.当且仅当8ab=b2a,即b=4a,a=13,b=43时取等号.3.【解题提示】求实根个数可转化为求函数图象与x轴的交点个数,求导后,求出极大值和极小值,判断极值的符号来求解.【解析】选C.设f(x)=x3-6x2+9x-10,f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-60,极小值为f(3)=-100,所以方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.4.【解析】选D.因为函数-f(-x)与f(x)的图象关于原点对称,(x0,f(x0)是极高点,那么(-x0,-f(-x0)就是极低点.5.【解析】选A.y=sinx+xcosx-sinx=xcosx,即切线斜率k=g(x0)=x0cosx0,则函数g(x0)=x0cosx0为奇函数,图象关于原点对称,排除B,C.当x0=时,g()=cos0得x12,由f(x)0得0x12,要使函数在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则有0k-112k+1,解得1k32,即k的取值范围是1,32.答案:1,328.【解析】对于,当x2时,f(x)=-13x3+2x,f(x)=-x2+2=-(x+2)(x-2)0,所以,f(x)在2,+)上是减函数,因此正确;对于,因为当x0时,f(x)=ex+x-1为单调递增函数,因此,f(x)f(0)=e0+0-1=0;当x0时,f(x)在0,2)上为增函数,在2,+)上为减函数,所以f(x)max=f(2)=-223+22=423,因此错误;对于,因为f(0)=0,所以x=0是f(x)的一个零点,又因f(2)f(3)=423(-3)0,所以在(2,3)上f(x)有一个零点,因此正确;由知正确.答案:9.【解析】(1)当a=1时,f(x)=3x2-3,令f(x)=0,得x=-1或x=1.当x(-1,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-,-1,1,+)上单调递增,所以f(x)的极小值是f(1)=-2.(2)方法一:f(x)=3x2-3a,直线x+y+m=0,即y=-x-m.依题意,切线斜率k=f(x)=3x2-3a-1,即3x2-3a+1=0无解.所以=0-43(-3a+1)0,所以a13.方法二:f(x)=3x2-3a-3a,要使直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1-3a时成立,所以a0时,f(x)=b-x2(x2+b)2.令f(x)=0,得x1=b,x2=-b.f(x)和f(x)随x的变化的情况如下:x(-,-b)-b(-b,b)b(b,+)f(x)-0+0-f(x)故f(x)的单调递减区间为(-,-b),(b,+);单调递增区间为(-b,b).当b0时,f(x)的定义域为D=xR|x-b.因为f(x)=b-x2(x2+b)20,f(x)单调递增,当x(e,+)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(em,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,故当x=em时,f(x)有极大值,根据题意1eme,即0m1.【方法总结】利用导数研究函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x).(3)解方程f(x)=0在定义域内的所有实数根.(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间.(5)确定f(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.11.【解析】对函数f(x)=x3-kx2+x求导得f(x)=3x2-2kx+1.(1)当k=1时f(x)=3x2-2x+1,由=4-12=-80,f(x)在R上单调递增.(2)方法一:当k0时,f(x)=3x2-2kx+1,其图象开口向上,对称轴x=k3,且过点(0,1)()当=4k2-12=4(k+3)(k-3)0,即-3k0,即k-3时,令f(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=k+k2-33,x2=k-k2-33,注意到kx2x10,所以f(x)的最小值m=f(k)=k;因为f(x2)-f(-k)=x23-kx22+x2-(-k3-kk2-k)=(x2+k)(x2-k)2+k2+10,所以f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k;综上所述,当k0时,f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k.方法二:当k0时,对xk,-k,都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k