高中数学 第4章 圆与方程 4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

4.3.1空间笛卡尔坐标系水泡顶翘翘熟练的知识首先，空间直角坐标系1.定义：在单位立方体OABC-欧阿乙丙中，以欧为原点，分别以射线的长度OA，OC和OO 为单位长度，建立了三个数轴：X轴，Y轴和Z轴。此时，我们说空间直角坐标系O-XYZ已经建立，其中点O被称为坐标原点，而X轴、Y轴和Z轴被称为坐标轴。通过每两个坐标轴的平面称为坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面。2.右手笛卡尔坐标系：在空间笛卡尔坐标系中，右手拇指指向X轴的正方向，食指指向Y轴的正方向。如果中指指向Z轴的正方向，这个坐标系称为右手笛卡尔坐标系。3.空间直角坐标系中的坐标：设定点M为空间的固定点，交点M为分别垂直于X轴、Y轴和Z轴的平面。点P、Q和R上的X轴、Y轴和Z轴的坐标分别是X、Y和Z。那么点M对应于唯一确定的有序实数组(X，Y和Z)。相反，一个有序的实数组(X，Y，Z)确定平面上相应的点m。这样，空间中m点的坐标可以用一个有序的实数组(x，y，z)来表示。有序实数组(x，y，z)被称为这个空间直角坐标系中点M的坐标，并被记录为M(x，y，z)。其中x叫做m的横坐标，y叫做m的纵坐标，z叫做m的纵坐标。4.坐标轴和坐标平面上的点的坐标特征：在空间中的点和三个实数的有序阵列之间建立一对一的对应关系。XOy平面(穿过X轴和Y轴的平面)是由坐标为(X，Y，0)的点组成的一组点，其中X和Y是任意实数；XOz平面(穿过X轴和Z轴的平面)是由坐标为(X，0，Z)的点组成的一组点，其中X和Z是任意实数；YOz平面(穿过y轴和z轴的平面)是由坐标为(0，y，z)的点组成的一组点，其中y和z是任意实数。X轴是由坐标为(X，0，0)的点组成的一组点，其中X是任何实数；Y轴是由坐标为(0，Y，0)的点组成的一组点，其中Y是任何实数；z轴是由坐标为(0，0，z)的点组成的一组点，其中z是任何实数。学习本知识点需要注意的要点：(1)非右手空间直角坐标系也可以处理空间中的点、线、面的问题，但右手空间直角坐标系更为常用，所以一般建立右手空间直角坐标系。点的位置应在一个基本平面(如xOy平面)的前提下确定。(3)应熟悉各坐标轴上各点在各坐标平面上的坐标特征，以便为准确书写空间中任意点的坐标打下良好的基础。2.空间对称性(1)在空间直角坐标系中，如果点P(x，y，z)已知，则点P关于x轴的对称点为(x，-y，-z)；关于y轴的对称点是(-x，y，-z)；关于z轴的对称点是(-x，-y，z)；关于原点的对称点是(-x，-y，-z)；xOy平面的对称点是(x，y，-z)；yOz平面的对称点是(-x，y，z)；xOz平面的对称点是(x，-y，z)。(2)中点公式：给定点P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，线段PQ中点m的坐标为()，也就是说，点p和点q关于点m对称。记忆的关键是使用公式“关于谁是对称的，谁保持不变，其他坐标是相反的”来记住寻找对称点的问题。例如，关于X轴对称点的坐标是横坐标不变，而另外两个变成相反的；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标和纵坐标保持不变，而纵坐标变成原来的相反数。问题探究问题1在平面直角坐标系x0y中，点P(x，Y)关于Y轴的对称点是什么？在空间直角坐标系o-XYZ中，点P(x，y，z)关于y轴的对称点是什么？是平面r上两点a和b的中点公式问题2在平面直角坐标系xOy中，x=-3代表的轨迹是什么？在空间直角坐标系o-XYZ中，x=-3代表的轨迹是什么？在平面直角坐标系xOy中探索：由x=-3表示的轨迹是一条直线交点(-3，0)并垂直于x轴；在空间直角坐标系o-XYZ中，由x=-3表示的轨迹是穿过点(-3，0，0)并垂直于x轴的平面。经典研究中的一个热门话题例1给定点A(-3，1，-4)，分别写出点A关于原点、x轴、y轴、z轴和点m (1，2，3)的对称点的坐标。思维分析：利用空间直角坐标系中的对称性知识进行求解。前四个是特殊的对称，应该牢记在心。一个点相对于另一个点的对称点问题可以用平面几何的中点坐标公式类比得到，二维问题可以推广到三维解。解：点A(-3，1，-4)关于原点的对称点是(3，-1，4)；关于X轴的对称点是(-3，-1，4)；关于Y轴的对称点是(3，1，4)；关于z轴的对称点是(3，-1，-4)；点M(1，2，3)的对称点被设置为B(x，y，z)，并且B(5，3，10)可以从中点公式获得。深化升华，注重理解记忆，灵活运用对称的相关公式，阐明“谁对称，谁不变，其余坐标相反”公式的含义例2已知长方体的边长分别为3、4、5。以长方体ABCDA1B1C1D1的相邻三条边AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系。(1)找到长方体每个顶点的坐标；(2)找到边DD1的中点坐标；(3)求曲面CDD1C1对角线交点的坐标。思维分析：用图形和相关数据，结合空间点的坐标来写。对于长方体或正方体，一般取相邻三个公共点所在的直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立一个空间直角坐标系来求一个点的坐标。最常见的方法是找到一些线段的长度，这也是找到空间坐标的关键。解决方案：(1) A (0，0，0)，B (3，0，0)，C (3，4，0)，D (0，4，0)，A1 (0，0，5)，B1 (3，0，5)，C1 (3，4，5)，D1 (0，4，5)。(2)d(0，4，0)，D1 (0，4，5)，使用中点公式，得出DD1的中点坐标为M(0，4，)。(3)曲面CDD1C1对角线交点的坐标是CD1的中点N，87C (3，4，0)，D1 (0，4，5)。从中点公式，得到n(，4，)，即曲面cdd1c1的对角线交点的坐标是所需的。深化升华空间中点坐标的求法。也就是说，要确定空间中点的坐标，可以先找到它在平面xOy上的投影点，从而得到横坐标和纵坐标，然后再看垂直坐标。例3写出点P(6，-2，-7)在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影坐标和关于每个坐标平面对称的点的坐标。思维分析：根据每个坐标平面上的点的特征和关于坐标平面对称的点的特征来解决问题。解：点P(6，-2，-7)在x0y平面、y0z平面和x0z平面上的投影点分别是A、B和C。点P在x0y平面、y0z平面和x0z平面上的对称点分别是A、B、C。点A(6，-2，0)、点B(0，-2，-7)和点C (6，0，-7)从PA平面xOy,PB平面yOz,PC平