2020版高考数学一轮复习 10.1随机抽样精品学案 新人教版

2020版高考数学一轮复习精品学案：第十章 统计、统计案例【知识特点】1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。【重点关注】1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。【地位与作用】全国新课程标准高考数学考试大纲中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修23第三章（约9课时）。相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。但它紧密联系人们的生产生活实际，内容方法比较灵活，为命高考数学应用题提供了一个广阔的领域，将会越来越受到重视。从最近几年各省份的高考信息统计可以看出，本单元命题呈现以下特点：1.考查题型以选择、填空为主,分值均占4%8%,基本属于容易题;2.重点考查用样本估计总体,特别是频率分布直方图的应用,以及用样本的数字特征估计总体的数字特征,考查的知识是本章的重点内容;3.预计本章在今后的高考中仍将在“用样本估计总体”中命题,别外由于在2020年广东高考中出现了关于变量间的相关关系的解答题,这就需要引起对变量相关关系的重视.10.1随机抽样【高考新动向】一、考纲点击1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;3.了解分层抽样和系统抽样方法.二、热点提示1.本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法,是统计学中最基础的知识;2.本部分在高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现,题目多为中低档题,重在考查抽样方法的应用.【考纲全景透析】1.简单随机抽样(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.2.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体编号;(2)确定分段间隔k,对编号进行分段,当是整数时,取k=;(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号();(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将加上间隔得到第2个个体编号(+),再加得到第3个个体编号(+2),依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.(2)分层抽样的应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.注:三种抽样方法的共同点和联系:(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等;(2)系统抽样中在分段后确定第一个个体时采用简单随机抽样,分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.【热点难点全析】(一)简单随机抽样相关链接1简单随机抽样的特点:(1)抽取的个体数较少;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.注:抽签法适于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.2一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.3利用随机数表法抽取样本的步骤(1)编号：将每个个体编号，各号数的位数相同.(2)选起始号码：任取某行、某组的某数为起始号码.(3)确定读数方向：一般从左到右读取.例题解析例某大学为了支持2020年亚运会,从报名的24名大三的学生中选6人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.思想解析:(1)总体的个体数较少,利用抽签法或随机数表法可容易获取样本;(2)抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取;(3)随机数表法的操作要点:编号、选起始数、读数、获取样本.解答:抽签法第一步:将24名志愿者编号,编号为1,2,3,24;第二步:将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;第三步:将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.随机数表法第一步:将24名学生编号,编号为01,02,03,24;第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;第三步:凡不在0124中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数;第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组.(二)系统抽样相关链接系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体;(2)各个个体被抽到的机会均等;(3)总体分组后,在起始部分采用的是简单随机抽样;(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为,如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.注:系统抽样的四个步骤可简记为“编号分段确定起始的个体号抽取样本”.例题解析例某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3,295,为了了解学生的学习情况,要按1:5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.思路解析:按比例分组每组编号用简单随机抽样确定每一组的学生编号间隔相同抽取组成样本.解答:按1:5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,关键是确定第1段的编号.按照1:5的比例,应该抽取的样本容量为2955=59,我们把295名同学分成59组,每组5人.第一组是编号为15的5名学生,第2组是编号为61的5名学生,依次下去,第59组是编号为291295的5名学生.采用简单随机抽样的方法,从第1组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为,那么抽取的学生编号为得到59个个体作为样本,如当时的样本编号为3,8,13,288,293.(三)分层抽样例某政府机关有在编有员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.思路解析:(1)机构改革关系到名种人不同的利益;(2)不同层次的人员情况有明显差异,故采用分层抽样.解答:用分层抽样方法抽取.具体实施抽取如下:(1)20:100=1:5,10/5=2,70/5=14,20/5=4,从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.(2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按110编号与120编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,，69编号，然后用随机数表法抽取14人。(3)将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.注:分层抽样的操作步骤及特点(1)操作步骤将总体按一定标准进行分层;计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数点总体数的比确定各层应抽取的样本容量;在每层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).(2)特点适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;更充分地反映了总体的情况;等可能地抽样,每个个体被抽下马看花 可能性都是.（3）分层抽样是一种实用性、操作性强，应用比较广泛的抽样方法，但必须保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.【高考零距离】1. （2020福建高考文科18）(本小题满分12分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元)88.28.48.68.89销量y (件)908483807568（）求回归直线方程，其中，；（）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）本题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、特殊与一般思想解：（）由于，所以，从而回归直线方程为（）设工厂获得的利润为元，依题意得当且仅当时，取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润2.（2020山东高考文科4）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差【解题指南】 本题考查样本的数字特征来估计总体.【解析】选D. B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据众数、中位数、平均数比原来的都多2，而标准差不变.3. （2020福建卷文科4）在某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12【思路点拨】根据分层抽样的特点，各层的样本容量之比等于每一层的总体容量之比，根据此关系可确定高二年级的学生中应抽取的人数.【精讲精析】选B .分层抽样的原则是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为，则，得.4. （2020.天津高考理科.T9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为_【思路点拨】根据抽取样本的比例计算。【精讲精析】答案：125. （2020浙江高考文科13）某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_【思路点拨】本题主要考查由频率分布直方图求某组的频率.【精讲精析】答案：600名.在该次数学考试中成绩小于60分共有3组,频率之和为0.02+0.06+0.12=0.2, 所以在该次数学考试中成绩小于60分的学生数大约为3000=600名.【考点提升训练】一、选择题1.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A、与第n次有关，第一次可能性最大 B、与第n次有关，第一次可能性最小C、与第n次无关，与抽取的第n个样本有关 D、与第n次无关，每次可能性相等答案：2.对于简单随机抽样，每次抽到的概率（ ）A、相等 B、不相等 C、可相等可不相等 D、无法确定答案：3.一个年级有12个班，每个班从1-50排学号，为了交流学习经验，要求每班的14参加交流活动，这里运用的抽样方法是（ ）A、简单随抽样 B、抽签法 C、随机数表法 D、以上都不对答案：4.搞某一市场调查，规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（ ）A、系统抽样 B、分层抽样C、简单随机抽样 D、非以上三种抽样方法答案：5.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 （ ）A、总体 B、个体 C、总体的一个样本 D、样本容量答案：6.为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（ ）A、 8 B、400 C、96 D 、96名学生的成绩答案：7. 为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A1000名运动员是总体B每个运动员是个体C抽取的100名运动员是样本D样本容量是100解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。答案：D8. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）A30人，30人，30人 B30人，45人，15人C20人，30人，10人 D30人，50人，10人解析：B；点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数9. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.依据题意，第项调查应采用分层抽样法、第项调查应采用简单随机抽样法.故选B.答案：B10. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样解析：D。点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定11. 某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（ ）（A）800名同学是总体（B）100名同学是样本（C）每名同学是个体（D）样本容量是100【解析】选D.据题意总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确.12. 2020年某高校有2400外毕业生参加国家公务员考试，其中专科生有200人，本科生1000人，研究生有1200人，现有分层抽样的方法调查这些学生利用因特网查找学习资料的情况，从中抽取一个容量为n的样本，已知从专科生中抽取的人数为10人，则n等于（ ）（A）100 B（B）200 （C）120 （D）240答案：C二、填空题13. 对有n(n4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和 (m是给定的正整数，且2mn-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则= ; 所有 (1ij的和等于 【答案】 , 6【解析】第二空可分:当 时, ;当 时, ;当时, ;所以点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行14. 某中学为了了解高一学生的年龄情况，从所有的1 800名高一学生中抽出100名调查，则样本是_.【解析】样本是指从总体中抽取的一部分个体，故本题中的样本是这100名同学的年龄.答案：这100名同学的年龄15. 某校高中部有三个年级，其中高三有学生1 000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有_名学生【解析】由题意知从高三年级抽取的人数为185-75-60=50人.所以该校高中部的总人数为1 000=3 700（人）.答案：3 70016. 某校有学生1 387名，若采用系统抽样法从中抽取9名同学参加中学生身体素质检测，若要采用系统抽样，则先从总体中剔除的人数为_名.【解析】由于1 387除以9得154余1，故应先从1 387名同学中随机剔除1名同学.答案：1三、解答题17.今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。问： 总体中的某一个体在第一次抽取时被抽到的概率是多少? 个体不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少? 在整个抽样过程中，个体被抽到的概率是多少?解析：（1），（2），（3）。点评：由问题(1)的解答，出示简单随机抽样的定义，问题( 2 )是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性18. 某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查