2020高考数学必考点 圆的方程1_第1页
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【命中考心】2020高考数学必考点之圆的方程 1例1 圆上到直线的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆的圆心为，半径设圆心到直线的距离为，则如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意又与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3个解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点设所求直线为，则，即，或，也即，或设圆的圆心到直线、的距离为、，则，与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共3个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心到直线的距离为，则圆到距离为1的点有两个显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断典型例题三例3 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为圆心在上，故圆的方程为又该圆过、两点解之得：，所以所求圆的方程为解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程为又点到圆心的距离为点在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？典型例题四例4圆上到直线的距离为的点共有（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个分析：把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选C典型例题五例5过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示分析：观察动画演示，分析思路PEOyx解：设直线的方程为即根据有整理得解得典型例题二例6已知圆，求过点与圆相切的切线解：点不在圆上，切线的直线方程可设为根据 解得 所以 即 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他
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