分子点群与群论初步

第5章分子点群与群论初步,5.1.1群的定义,由有限个或无限个元素组成一个集合G，若G能满足下列四个条件，它就是一个群。(1)封闭性：集合G中任意两个元素A、B用规定的运算所得出的组合AB(或称为A与B的乘积)也必须是G中的一个元素，即若,则必须有,注意：这里A与B也可以是同一个元素。所谓规定的运算可以是相乘、相加或其它的一种运算。这种运算不一定是可对易的。群中的元素可以是数字，也可以是矩阵、对称操作、置换等等。,5.1群的概念,(2)结合律：三个元素组合时，其结果与组合的顺序无关，即(AB)C=A(BC)(3)恒等元素：G中必须有一个元素E，它与G中任何一个元素A的组合等于A，即,E称为恒等元素或单位元素。(4)逆元素：在G中，对于任何一个元素A，必须有它的逆元素A1，A1也是G中的一个元素，它满足下列式子,举例,(1)由0和所有的正、负整数组成的集合，对于普通的初等代数加法而言，是一个群。其中0是恒等元素，任何正数n的逆元素是n。(2)除0以外的全体实数，对于普通的初等代数乘法而言，组成一个群。单位元素是1。(3)立正、向后转、向左转和向右转，对于连续进行两个动作而言，组成一个群。其中立正为恒等元素。(4)三个对称操作组成一个群。E是群中的单位元素，和互为逆元素。,(5)下列四个矩阵组成一个群,其中第一个矩阵是单位元素，每个矩阵的逆元素就是它本身。,若一个群中元素的个数是有限的，则称它为有限群，其中所含元素的个数称为该群的阶，常用h表示。包含无穷多个元素的群称为无限群。若群中的任意两个元素A和B是可对易的，即AB=BA，则该群称为对易群或Abel群。,5.1.2子群、相似变换、共轭元素和类,子群：如果在群G之中的一部分元素的集合也是一个群，那么后者就称为前者的子群。即若,而G中一部分元素的集合,也构成群时，H叫做G的子群，并表示为,例如，在C3v群中有六个元素,其中三个元素构成一个群(C3群)，E与任意一个v也构成一个群(Cs群)，这些群都是C3v群的子群。此外单位元素E总是单独地构成一个一阶子群。可以证明，群的阶数总能被它的任何子群的阶数整除。,共轭、类,设群G为,若其中三个元素A、B、X之间存在着如下的关系,或,则称A与B共轭,共轭元素具有以下性质(1)每个元素与其自身共轭，即若在G中任选一个元素A，则至少能在G中找到一个元素Y，使,成立,(2)若A与B共轭，则B必定与A共轭，即若,成立，则也成立,(3)若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭,在一个群中，相互共轭的元素的一个完整集合称为一个共轭类或简称为类,若群中有一个元素A，设X为群中的任意一个元素，则是A的同类元素。将X取遍群中所有的元素，即可得出与A为同一类的所有元素。,例如：C3v群元素中，为一类，为一类，为一类。,推论,(1)群中两个不同的类不能包含任何共同的元素(2)若A，B，C，是同一类中的元素，且An=E，则这里n称为A，B，C等元素的周期。(3)在任何一个群中，单位元素E总是单独构成一类(4)在对易群中，每一个元素都单独构成一类,注意,类和子群是两个不同的概念。一个类中的元素通常并不构成一个群(E单独构成的类除外)。这是因为它们之中通常不包含单位元素E，故不符合群的条件。而子群本身是一个群，而且不同的子群必定都包含一个共同的元素E。,同构与同态,设有两个具有相同的阶的群G和G,它们的元素之间一一对应，并有相同的乘法表(即若Ai与Bi对应，Ak与Bk对应，则AiAk与BiBk对应)，我们称G和G同构。(i,k=1,2,m),注意：两个群同构，它们不一定是同一种群。例如，一个点群可以和一个矩阵群同构。,例：右边三个群同构,两个不同阶的群不能成为同构群，但有可能成为同态群。,设有两个群G和G，G的阶大于G的阶。若G中任一元素都和G中几个元素相对应，并且有下列性质,若,则,表示中的任何一个表示中的任何一个,这样就称G和G同态。,直接乘积,有两个群,如果它们的元素彼此相乘的意义是明确的，并且还满足下列条件,即G1中的任一元素和G2中的任一元素互相对易，则可定义一个更大的群G，称G为G1和G2的直接乘积，表示为,G中包含G1和G2中所有元素以及所有的AiBj。显然，按照子群的定义，G1和G2都是G的子群。,5.1.3群的乘法表,若一个有限群的阶为h，群的乘法表由h行和h列所组成，每一列和每一行用一个群元素标明。表中所列出的每个元素都是它所在的行和列的领头元素的组合(乘积)。由于交换律往往不满足，习惯上规定把列元素放在前面，把行元素放在后面，即在标有x的列和标有y的行的交叉点上找到的元素是xy的乘积。,乘法表的重排定理：在群的乘法表的每一行或每一列，每个元素都出现一次而且只能出现一次。,举例,二阶群G2,三阶群G3,四阶群G4,C3v群的乘法表,C3v：,对称性,体系包含若干等同部分，这些部分相对(对等，对应)而相称(适合，相当)，这些部分能经过不改变其内部任何两点间距离的对称操作所复原。,对称性的本质：不变性,5.2对称操作与对称元素,自然界中的对称,对称性在化学中的意义,1）简明表达分子构型和晶体结构；2）简化分子构型的测定工作，减少计算量；3）帮助正确了解分子和晶体性质；4）指导化学合成工作。,对称操作是一种动作，通过这种动作使物体或对称图形复原。换句话说，假如我们记下物体在完成一个动作前后的位置和取向，若这两个位置和取向是不可区分的话，这种动作就是对称操作。对称操作所赖以进行的几何要素(点、线、面等)称为对称元素。对称操作和对称元素通常用同一个符号来表示，如Cn既表示旋转360/n这个动作，又表示n重旋转轴；既表示反映这个动作，又表示镜面这个对称元素；Sn既表示旋转反映操作，又表示n重映转轴。而反演操作和对称中心则用i表示。,分子对称性的对称元素与对称操作,由对称操作构成的群称为分子对称点群，因为这时所有的对称元素都通过一个点，这一点在所有对称操作作用下都是不变的。对于分子来说，这一点实际上就是分子的质心。,对称点群分类,(1)Cn群,只有一个n重旋转轴，绕轴可以有n个不同的旋转操作，组成一个对易群，称为Cn群，它包含的群元素为,Cn群的阶数等于n。由于每个群元素都互相对易，因此每个元素自成一类，共有n类,5.3对称点群,Cn群举例：C1没有任何对称元素的分子所属的点群，如CHFClBrC2H2O2C3既非重叠式又非交叉式的CH3CCl3,(2)Cnv群,分子中除有一个n重旋转轴外，通过对称轴还有n个对称面。Cnv群包含2n个群元素，即,除了C2v群是对易群外，其它的Cnv群都不是对易群。举例：C2vH2O、HCHO、CH2X2、O3、菲等C3vNH3、CHCl3、CH3Cl等C4vBrF5C5vTi(C5H5)Cv没有对称中心的线型分子，如HX、CO、N2O等,(3)Cnh群,分子中除有一个n重旋转轴外，垂直于对称轴还有一个对称面h。因为hCn=Sn，所以就必须带来(n1)个映转对称操作。Cnh群包含2n个群元素，即,当n为偶数时，存在对称中心i，因为,举例：C1h(Cs)除外，没有其它对称元素，如NOCl、HN3等C2h反式二氯乙烯、反式丁二烯、N2F2,Cnh群实际是Cn群和C1h群的直接乘积,(4)Dn群,分子中除有一个n重旋转轴(主轴)外，垂直于Cn轴还有n个二重轴C2，用表示。Dn群共有2n个群元素，即,Dn群和Cnv群是同构的，只要把和对应起来即可(i=1,2,n)。,举例：D3既非重叠式又非交叉式的乙烷,(5)Dnh群,在Dn的基础上，垂直于n重对称轴再加一个对称面h，从而自然地得到n个通过C2的对称面v。Dnh是Dn和C1h的直接乘积，包括4n个群元素，即,当n为偶数时，存在对称中心,举例：D2h乙烯、萘、蒽、N2O4D3hBF3、PCl5、重叠式乙烷D4h、XeF4D5h、重叠型的二茂铁、IF7、UF7D6hC6H6DhH2、X2、CO2、CHCH,(6)Dnd群,在Dn的基础上，通过n重对称轴同时又通过两个副轴夹角的平分线再加一个对称面d，从而自然地得到n个d。Dnd共有4n个群元素，即,当n为奇数时，有，,即有对称中心。因此，当n为奇数时，Dnd就是Dn和Ci的直接乘积。,Dnd群举例：D2d丙二烯、B2Cl4D3d交叉式乙烷、椅式环己烷D4dS8D5d交叉式的二茂铁,对于映轴Sn有,Sn,Cn/2+in个操作n为偶数但不是4的倍数,Cn+h2n个操作n为奇数,Snn个操作n为4的倍数,(7)Sn群,分子中只包含一个映转轴的点群，n个群元素为,因此，Sn仅当n为偶数时存在，n为奇数时它恒等于Cnh。,交叉式CHClBrCHClBr,(8)四面体群,T群分子中存在四个C3轴和三个C2轴，共有12个群元素，即Th群在T群的基础上，垂直于二重轴引入一个对称面，得到Th群，包含24个群元素,Td群在T群的基础上，引入一个通过一个二重轴平分另外两个二重轴的对称面d，产生六个d，同时又出现三个四重映转轴S4，得到Td群，共有24个群元素，即,举例：具有T或Th点群的分子很少，具有正四面体构型的AB4型分子或离子都属于Td点群。,(9)立方体群(O和Oh群),凡是具有正八面体构型的AB6型分子或离子，如SF6、UF6、等均属于Oh群。,O群有三个互相垂直的C4轴、四个C3轴和六个C2轴，包含24个群元素，分为5类，即,把O群中的C4换作S4，换作，就得到Td群。实际上，O群和Td群同构。,在O群的基础上，引入垂直于C4的h就得到Oh群，它是O群和Ci群的直接乘积，包含48个群元素，除了O群的24个元素外，还有(1)i(2)6S4因为hC4=S4，所以6C4生成6S4。(3)3h三个四重轴形成三个h。(4)8S6因为iC3=，所以8C3生成8S6。(5)6d通过六个有六个d。这样一共有48个群元素，包括10个类。立方体也属于Oh群，单独的O群在分子结构中很少见。,分子点群的判别,Oh,C4v,C4v,D3d,D2h,D2d,D5h,C2v,5.4矩阵表示和特征标,对称操作的矩阵表示,在一定的坐标系下，对物体进行对称操作使得其对应的坐标发生改变，对这种坐标的变化关系，可以使用矩阵来描述。,(1)旋转操作,选择三维空间某点P(x,y,z)，取z轴为旋转轴，旋转操作R作用在P(x,y,z)上，产生一个新点P(x,y,z)，假设沿逆时针旋转的角度为，可得：,表示成矩阵形式：,由此可得旋转操作的矩阵表示为,例如：求的表示矩阵,(2)反演操作,取对称中心位于原点,可得：,因此，反演操作的表示矩阵为：,(3)反映操作,取镜面为xy平面并通过原点,可得：,因此，反映操作xy的表示矩阵为：,同理可得：,(4)旋转反映操作,取z轴为旋转轴，镜面为xy面并通过原点,当k偶数,当k奇数,例S4操作矩阵(z轴为旋转轴),群表示的定义,对称操作可以用矩阵来表示，因而在任何一个点群中，所有的群元素都可以用矩阵来表示。如果选定一种基，一个点群中所有元素都有相应的表示矩阵，这些矩阵也构成一个群，它和这个点群必定是同构或同态的。这样一个矩阵群就是这个点群的表示。欲求某点群的群表示必须首先确定对称操作作用的对象，即群表示的基(或基底)，它可以是矢量、函数、原子坐标、原子轨道等。由于所选择的基不同，每个点群可以有多种群表示。,例1：C2v点群一维、二维、三维表示的集合,例2：C3v点群的三维表示,将C3轴定位于Z轴，镜面与YZ平面重合，那么的表示矩阵依次为：,根据C3v的乘法表可得：,5.5可约表示与不可约表示,原则上讲，可以选择到点群的无穷多组基，从而得到无穷多个群表示。然而，在这无穷多个群表示中只有少数几个不等价、不可约表示能够反映群的本质，其余均是等价的、可约的。,则称这两个群表示等价，否则为不等价。可以证明，等价表示的对应矩阵的迹(对角元素之和)相等，反之也可证明，如果两个维数相同的群表示所有对应矩阵的迹都相等，则两个群表示等价。后者可以作为两个群表示是否等价的简单判据。,1等价表示与不等价表示,设矩阵E、A、B、C是点群的某基下的表示矩阵，E、A、B、C是另一基下同一点群的表示矩阵，如果存在矩阵D及其逆矩阵D1，使得下式(相似变换)均成立,或,2可约表示与不可约表示,若点群的表示矩阵E、A、B、C都是相同类型的对角方块矩阵(方块外的其它矩阵元为零)，即,其中，Ak、Bk、Ck的阶都相同(A1、A2、A3的阶不一定相同)，根据对角方块矩阵的乘法规律，这些矩阵中对应的方块都可以各自相乘，并且符合与大矩阵相同的乘法表，所以每个对应的方块都能构成群的一个表示。则称表示矩阵E、A、B、C为可约表示，可以分解为较低维数矩阵之和，即可以约化为维数较低的表示。,若表示矩阵E、A、B、C虽然并不是(或者不全是)相同类型的对角方块矩阵，但可以通过相似变换把这些矩阵全都变成相同类型的对角方块矩阵，则此表示矩阵也是可约表示。若不能通过相似变换把一个表示的所有矩阵变成相同类型的对角方块矩阵，则称此表示E、A、B、C为不可约表示。,总结：(1)一个群的表示的数目是无限的，其中有些是可约表示，有些是不可约表示。(2)一个群的不可约表示的数目可能是有限的，也可能是无限的。其中，可能有些是等价的。(3)一个群的不等价不可约表示的数目是有限的，它们具有特殊的重要性。,举例C3v的一个群表示为,利用和进行相似变换,得到类型相同的对角方块矩阵，说明该表示可以约化为一个二维表示和一个一维表示。,5.6群表示的特征标及特征标表,群的可约表示在约化过程中矩阵元的数值在变，但矩阵的对角元之和(矩阵的迹)始终保持不变，对称操作的表示矩阵的迹称为特征标，通常用符号(R)表示：,或,根据上述定义可以得出以下推论：(1)两个等价表示的所有特征标对应相等。(2)在群的任意一个表示中，同一类的各个矩阵的特征标均相同。(3)单位矩阵E的特征标等于表示矩阵的阶数(或称为表示的维数)。,群的不可约表示的特征标具有特别重要的意义，通常把一些重要的点群的不可约表示的特征标列成表，称为特征标表。例如，C3v群的特征标表如下：,符号说明：(1)A或B代表一维表示，E代表二维表示，T代表三维表示。(2)主轴Cn对应操作的特征标为1和1时，一维表示分别用A或B表示。(3)垂直于主轴的副轴C2(或包含主轴的v)对应操作的特征标为1或1时，A、B、E、T的下标加上1或2。(4)对称操作i的特征标为1或1时，上述符号的下标加上g或u。(5)对称操作h的特征标为1或1时，上述符号的上标加上或。,广义正交定理及不可约表示的性质,广义正交定理：,式中符号的意义是：i第i个不可约表示；(R)mn操作R的表示矩阵的第m行第n列的矩阵元；li第i个不可约表示的维数；h群的阶(即群中元素的数目)；对群中元素求和。,意义：在一组不可约表示矩阵中，任意一组来自每个矩阵中的对应矩阵元的集合，它的行为和h维空间中的向量相同(每个矩阵元就是向量的分量)。所有这些向量都相互正交，并且归一化为它们的长度平方，即h/li。如果把上式写成以下三个式子，则其含义看起来更明显(为了简便起见，以下略去复共轭记号，当然如果包含复数则必须保留)。,(1)(若ij)这表明选自不同表示矩阵的相应矩阵元所组成的向量互相正交。以C3v为例,E表示(R)11：A1表示(R)11：,(2)(若mm或nn或同时有mm，nn)这表明若向量选自同一个表示，但来源于不同位置的矩阵元，则它们也是正交的。仍以C3v为例,E表示(R)11：E表示(R)12：,(3)这表明选自同一表示同一位置的矩阵元所组成的向量，其长度平方等于。仍以C3v为例,E表示(R)11：,不可约表示及其特征标的性质：(1)一个群的不等价、不可约表示的数目，等于该群中共轭类的数目。例如在C3v群中，共有三个共轭类，它就有三个不等价的不可约表示。(2)一个群的所有不等价、不可约表示的维数l的平方和等于该群的阶h。例如在C3v群中，有三个不等价的不可约表示，其中两个是一维的，一个是二维的，因此维数的平方和为,(3)同一不可约表示的特征标的平方和等于该群的阶。(4)由两个不等价的不可约表示i、j的特征标作为分量的向量正交。(5)在一个给定的表示(可约或不可约的)中，所有属于同一共轭类的对称操作的表示矩阵的特征标恒等(由于共轭矩阵具有相同的迹)。(6)群的不等价不可约表示中恒等操作的特征标等于该表示的维数。,可约表示的约化,任意一个可约表示，总可找到一个矩阵D，经过相似变换，使可约表示约化成不可约表示i之和,其中，ai是不可约表示出现的次数。即可约表示可通过相似变换约化成几个不可约表示之和。若知道可约表示的特征标(R)，可利用特征标表根据下式求出ai：,5.7直积表示的特征标,设A是群的一个表示，它是以X1,X2,Xm为基函数形成的一个m维表示，B是群的另一个表示，它是以Y1,Y2,Yn为基函数形成的一个n维表示，则A和B的直积AB也是群的一个表示，称为直积表示，它是一个以,为基函数的(mn)维表示。,定理：直积表示的特征标等于表示特征标的乘积。,若某个表示是其它两个特征标为1(R)和2(R)的表示的直积，则其对应的特征标由下式给出,两个或多个不可约表示的直积可能仍是一个不可约表示，也可能是一个可约表示。,5.8群论与量子力学,原子轨道(如s,px,py,pz,)可作为不可约表示的基。在讨论分子结构时，不论是构成杂化轨道还是分子轨道，都将由原子轨道线性组合而成，了解各个分子中原子轨道在该分子所属点群的各种对称操作下的变换性质尤为重要。,原子轨道的变换矩阵,原子轨道的数学表示,举例：C2v点群对称操作对H2O分子的作用,取z轴为水分子的C2轴，xz平面和yz平面为和反映面，在C2v对称操作作用下，函数x,y,z的变换情况如下表所示：,以中心O原子的的p原子轨道为基进行C2v群对称操作所得的相应变换矩阵为：,若以中心O原子的d原子轨道作为基函数，在C2v群对称操作下，这些函数的变换形式如下表：,对应的变换矩阵为：,C2v群的特征标表,因此，以O的p原子轨道为基的C2v群可约化为：,而以O的d原子轨道为基函数的可约表示约化如下：,举例：C3v点群对称操作对NH3分子的作用,取z轴为氨分子的C3轴，xz平面为反映面，和反映面分别通过z轴和底平面中一个角的平分线。在C3v对称操作作用下，函数x,y,z(即N原子的p原子轨道)的变换情况如下表所示：,将N原子的p原子轨道作为基进行C3v群对称操作的相应的变换矩阵为：,此可约表示约化为：,若以N原子的d原子轨道作为基函数，在C3v群对称操作下，这些函数的变换形式如下表：,对应的变换矩阵为：,此可约表示约化为：,群论应用：AB3型分子中杂化轨道的构成,BF3,AlCl3,SO3,等分子或离子具有平面三角形结构，其中心原子A以三个等价的杂化轨道与B原子形成键，是杂化轨道。这些分子属D3h点群，它的群元素为：共12个群元素，分为6个共轭类，故有6个不可约表示，其特征标如下表所示。,D3h特征标表,以A原子的3个杂化轨道作为基向量，用群元素作用上去，可得出矩阵表示，由这些矩阵表示可计算出可约表示的特征标。方法：将A与B键合的键画成3个箭头并标明编号，将群元素作用于它们，如下图所示,若其中一个箭头编号不变，则此群元素对应的变换矩阵的特征标为1，若两个箭头编号不变，则特征标为2等等，依次类推就可得到所有群元素的特征标。也就是说，特征标等于不被操作移位的向量数目。,故得：,因此可得以A原子的3个杂化轨道作为基向量的可约表示的特征标表：,利用公式可将分解成：,由此可见，中心原子A的杂化轨道可能由这些原子轨道组成，并有四种可能，由这些原子轨道的线性组合能够使D3h点群具有平面三角形构型。,投影算符与分子轨道,用Hckel分子轨道法处理萘分子中的分子轨道时，需要求解如下形式的久期行列式方程：,上面的行列式展开后是关于x的十次多项式，该一元十次方程的求解十分麻烦。,由于萘分子具有一定的对称性，利用群论方法可把上述久期行列式方程分解(简化)为一组相对容易求解的较小方程。,应用群论方法构成杂化轨道、分子轨道时经常遇到的问题：由一组正交函数(对于分子轨道法，多为原子轨道)怎样求得分子所属点群不可约表示的基？解决此类问题的标准群论方法是使用投影算符。,投影算符的定义,投影算符定义为,式中：lj是第j个不可约表示的维数，h为群的阶，j(R)是第j个不可约表示对应于对称操作R的特征标，相乘R表示乘以R作用在任意函数的结果(仍为一函数)，表示对全部对称操作求和。,上式中lj/h项一般可以省略，因为最后求得的新函数还需要归一化。,投影算符可以作用于任意函数，它可以消除任何不属于第j个不可约表示的函数，而把属于第j个不可约表示的函数“投影”出来，即可以从任意函数出发，构造按指定不可约表示矩阵变换的基，通常称为对称性匹配函数(也称群轨道)。,构造对称性匹配函数,以原子轨道为基，确定对称性匹配函数(及分子轨道)的步骤：,(1)确定分子对称点群，写出特征标表；,(2)以分子所属点群的各个对称操作，作用于分子中各原子轨道，求得可约表示的特征标；,(3)把可约表示约化为不可约表示；,(4)用投影算符构造对称性匹配函数；,(5)将对称性匹配轨道组合成分子轨道(该步骤可能不需要)。,例1：求萘的分子轨道,步骤(1)：萘的电子体系由十个碳原子的2pz轨道组成，用1,2,3,4,5,6,7,8,9,10标记，z轴通过9,10两个C原子的中心并垂直于分子平面(纸面)，y轴在9,10两个C原子的连线上。,萘属于D2h点群，现用子群D2点群来处理，D2点群的特征标如下表：,D2点群特征标表,步骤(2)：以1,2,3,4,5,6,7,8,9,10为基函数，在D2点群元素作用下，各基函数的位置变换都列入下表(见下页)：,根据前面的讨论，若基函数在对称操作作用下不变，则对该表示特征标的贡献为1；若基函数变为相反值，则对特征标的贡献为1；若基函数变为另外一个基函数，则对特征标的贡献是0。加和所有对特征标的贡献得到可约表示(110)的特征标。,(E)=10,C2(z)=0,C2(y)=2,C2(x)=0,在D2点群对称操作下基函数的变换,步骤(3)：由D2点群的特征标表与(110)的特征标，利用约化公式，可将(110)约化为不可约表示：,(110)=2A+3B1+2B2+3B3,可以看出，1个10次久期行列式方程式能够化简为分别对应A,B1,B2,B3的2次、3次、2次、3次式。,步骤(4)：利用投影算符的定义式，结合D2点群的特征标表及基函数的变换关系求对称性匹配函数(对称性轨道),同样得到,可以看出,因此实际上只有两个函数，这样属于A表示的对称性轨道只选取其中的两个即可，今选取1和2，考虑到归一化条件，有,同样，可以求得属于其他三个表示的8个归一化的对称性匹配函数为,步骤(5)：将对称性匹配轨道组合成分子轨道,可得到相应的久期方程和久期行列式,与上述久期行列式对应的矩阵为方块因子矩阵，按照行列式的性质，若行列式数值为零，则各个方块必须为零。因此，1010的行列式方程约化成两个22和两个33的久期行列式方程，即：,考虑上面的第一个久期行列式方程，H11=,H12=H21=,H22=,因此有,令可得,展开，可求得,因此有,与分子轨道组合系数c1,c2有关的久期方程为,或,结合归一化条件，解得,因此，萘分子具有A对称性的两个分子轨道为：,例2：求环丙烯基团(C3H3)的分子轨道,步骤(1)：环丙烯基团的电子体系由3个碳原子的2pz轨道组成，用1,2,3标记，z轴通过分子的中心并垂直于分子平面(纸面)，y轴平分C2C1C3。,环丙烯基团属于D3h点群，用子群D3点群来处理，D3点群的特征标如下表：,D3点群特征标表,步骤(2)：以1,2,3为基函数，在D3点群元素作用下，各基函数的位置变换都列入下表：,在D3点群对称操作下基函数的变换,加和所有对特征标的贡献得到可约表示(13)的特征标。,(E)=3,(2C3)=0,(3C2)=1,步骤(3)：将可约表示(13)约化为不可约表示：,(13)=A2+E,步骤(4)：利用投影算符求对称性匹配函数,同样得到,可以看出,因此属于A2对称性的对称性匹配函数实际上只有一个，考虑到归一化条件，有,同理可得,考虑到分子的对称性，上述三个函数实际上是等价的，取第一个，归一化可得属于E对称性的一个对称性匹配轨道为,利用正交归一化条件，