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七校联考 数学试卷（理科）满分150分 考试时间120分钟一、填空题（本大题每题4分，满分56分）1. 平面直角坐标系中，为坐标原点，则 .2. 复数的虚部为 .3. 函数的最小正周期为 .4. 直线关于直线对称的直线方程为 .5. 定义集合运算：.设，则集合的所有元素之和为 . 6. 从集合中任取两数，其乘积不小于10的概率为 .7. 若实数满足，且，则的值为 .8. 若对于任意实数，都有，则的值为 .9. 设等差数列的公差为，前项和为，则 .10. 函数的值域为 .11. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程为 . 12. 已知是球表面上的点，平面，则球的表面积为 .13. 如果一个正四位数的千位数、百位数、十位数和个位数满足关系，则称其为“彩虹四位数”，例如2020就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .（直接用数字作答）14. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，.按此方案，在第2020棵树的种植点坐标应为 .二、选择题（本大题每题5分，满分20分）15. “成立”是“成立”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件16. 已知向量、满足，与的夹角为，则等于（ ）A B C D17. 函数为定义在上的偶函数，且当时，则下列写法正确的是（ ）A. B. C. D. 18. 椭圆上有个不同的点，是右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（ ）A B C D三、解答题（本大题满分74分）19. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在中，.（1）求角的大小；（2）如果的最大边长为，求最小的边长.20. （本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）如图所示，在长方体中，为棱上一点.（1） 若，求异面直线和所成角的正切值；（2） 是否存在这样的点使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.21. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设数列的前项和为，已知，.（1） 设，求数列的通项公式；（2） 若对于一切，都有恒成立，求的取值范围.22. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）若函数定义域为，满足对任意，有，则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，有，则称为“对数形函数”（1）当时，判断是否为形函数，并说明理由；（2）当时，证明：是对数形函数；（3）若是形函数，且满足对任意，有，问是否为对数形函数？证明你的结论23. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲
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