2020高三数学一轮复习《函数、导数及其应用》单元练习题 新人教版

20202020 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用 2.72.7 导导 数数 【高考目标定位】 一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击 （1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义； （3）能根据导数定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,的导数; 1 x yx （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。能求简单的 复合函数（仅限于形如 f(ax+b)的复合函数）的导数。 2、热点提示 （1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答 题中； （2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多 项式函数一般不超过三次）； （2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中 多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 （3）会利用导数解决某些实际问题。 2、热点提示 （1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解 决生活中的优化问题。有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。 （2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。 【考纲知识梳理】 一、变化率与导数、导数的计算 1、函数 y=f(x)从 x1到 x2的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1到 x2的平均变化率为，若，则平均 21 21 ()()f xf x xx 21 xxx 21 ()()yf xf x 变化率可表示为。 y x 2、函数 y=f(x)在 x=x0处导数 （1）定义 称函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率 为 y=f(x)在 x=x0处导数，记作 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 00 00 00 ()() ()|,()limlim x x xx f xxf xy fxyfx xx 或即 （2）几何意义 函数 f(x)在点 x 处的导数的几何意义是在曲线 y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。 0 ()fx 0 x 0 ()fx 相应地，切线方程为 y-y0=(x=x0). 0 ()fx 3、函数 f(x)的导数 称函数为函数 f(x)的导函数，导函数有时也记作 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x y 注：求函数 f(x)在 x=x0处的导数的方法： 方法一：直接使用定义；; 0 00 0 ()() ()lim x f xxf x fx x 方法二：先求导函数，再令 x=x0求 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 0 ()fx 4、基本初等函数的导数公式 5、导数运算法 导数运算法则 函数导数 yc 0y * ( )() n yf xxnQ 1 n ynx sinyxcosyx cosyx sinyx ( ) x yf xaln(0) x yaa a ( ) x yf xe x ye ( )logaf xx 1 ( )(01) ln fxaa xa 且 ( )lnf xx 1 ( )fx x 1 ( )( )( )( )f xg xfxg x 2 ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x 3 2 ( )( ) ( )( )( ) ( ( )0) ( ) ( ) f xfx g xf x g x g x g x g x 6、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对 yf g x yf u ug x xux yy uAy 的导数等于对的导数与对的导数的乘积。xyuux 二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、函数的单调性与导数 在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，( )0fx( )yf x( )0fx 那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。( )yf x( )0fx( )yf x 注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递( )yf x( )0fx( )0fx( )yf x 增的充分不必要条件。 2、函数的极值与导数 （1）曲线在极值点处切线的斜率为 0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正 一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0) 是极大（小）值的方法是： （1）如果在 x0附近的左侧 f(x)0 ，右侧 f(x) 0（或 f(x)0 时为增函数；f(x)0 时为减函数。 （3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数 f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要 条件应是 f(x)0（或 f(x)0），x（a,b）恒成立，且 f(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒 等于 0，这就是说，函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f(x) =0，甚至可以在无 穷多个点处 f(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析 例（安徽合肥 168 中高三段考（理）( 本小题满分 13 分)已知函数 2 47 2 x f x x ， 01x， （）求 f x 的单调区间和值域； （）设 1a ，函数 22 3201g xxa xax， ，若对于任意 1 01x ， ，总存在 0 01x ， ， 使得 01 g xf x 成立，求a的取值范围 解：对函数 f x 求导，得 2 2 4167 2 xx fx x ， 2 2127 2 xx x 令 0fx ， 解得 1 1 2 x 或 2 7 2 x 当x变化时， fx ， 、 f x 的变化情况如下表： x 0 1 0, 2 1 2 1 ,1 2 1 fx ， 0+ f x 7 2 43 所以，当 1 0 2 x ， 时， f x 是减函数；当 1 1 2 x ， 时， f x 是增函数； 当 01x， 时， f x 的值域为 43， （）对函数 g x 求导，得 22 3gxxa ， 因此 1a ，当 01x， 时， 2 3 10gxa ， 因此当 01x， 时， g x 为减函数，从而当 01x， 时有 10g xgg ， 又 2 11 23gaa ， 02ga ，即当 1x 0， 时有 2 1 232g xaaa ， 任给 1 1x 0， ， 1 43f x ， ，存在 0 01x ， 使得 01 g xf x ，则 2 123243aaa ， 即 2 1 2341 232 aa a （） （） 解 1（）式得 1a 或 5 3 a 解 2（）式得 3 2 a 又 1a ， 故：a的取值范围为 3 1 2 a （二）函数的极值与导数 1、相关链接 （1）求函数 f(x)极值的步骤 确定函数 f(x)的定义域； 求导数 f(x); 求方程 f(x)=0 的根。 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果 f(x)在点 x0的左右两 侧符号不变，则 f(x0)不是函数极值。 （2）可导函数极值存在的条件 可导函数的极值点 x0一定满足 f(x0)=0,但当 f(x0)=0 时，x0不一定是极值点。如 f(x) =x3,f(0)=0,但 x=0 不是极值点。 可导函数 y=f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 f(x)=0，且在 x0左侧与右侧 f(x0)的符号不 同。 2、例题解析 例设 x=1 与 x=2 是函数的两个极值点。 lnf xaxbxx （1）试确定常数 a 和 b 的值； （2）试判断 x=1,x=2 是函数 f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值。 解析：（1） 21, a fxbx x 由已知得： 210 10 1 20410 2 ab f fab 2 3 1 6 a b （2）x变化时。 fx ， ， f x 的变化情况如表： x（0，1） 1 （1，2） 2 fx ， 0+0 f x 极小值极大值 故在 x=1 处，函数 f x 取极小值 5 6；在 x=2 处，函数 f x 取得极大值 42 ln2 33 （三）函数的最值与导数 1、相关链接 （1）设函数 f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，求 f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤 求函数 y=f(x)在（a,b）内的极值； 将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值。 （2）根据最值的定义，求在闭区间a,b上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将 过程简化，即不用判断使 f(x)=0 成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进 行比较，就可判定最大（小）值。 定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。 2、例题解析 例（黑龙江省双鸭山一中2020 届高三期中考试（理）（本题 12 分）已知函数 2 f xx| xa|,aR. （1）当 0a 时，求证函数 f x, 在 上是增函数； （2）当 a=3 时，求函数 f x 在区间0，b上的最大值。 解：(1)a 0 时， 232 30f xx xaxax,fxxa因 故 f x 在 R 上是增函数。(4 分) (2) 3a 时， 3 2 3 33 3 303 xx x f xx| x| xxx 若0 3b 时， 32 3330f xxx ,fxx由 得： 1x ()若0 1b 时， 0fx, f x 在0，b上单增，故 3 3 max f xf bbb , ()若1 3b 时，因 010 10 x, fx;xb, fx. 故 12 max f xf . 若 3b 时，由知 f x 在 03, 上的最大值为 2，下求 f x 在 3,b 上的最大值，因 2 330fxx ，故 3 3 max f xf bbb. 又 3 2 3 32 3212 202 bb b bbbb b 综合、 知： 3 3 32 212 301 max bb b f xb bbb (12 分) （四）生活中的优化问题 例（安徽合肥 168 中高三段考（理）（本小题满分 12 分） 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P 处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距 的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为 ykm （1）按下列要求建立函数关系式： （）设 BAO （rad），将 y 表示成的函数； （）设OP x （km），将 y 表示成x的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 20、解:（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO=(rad) ，则 10 coscos AQ OA , 故 10 cos OB ，又 OP10 10tan ， 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP ， 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y 0 4 若 OP=x(km) ，则 OQ10x，所以 OA =OB= 2 22 101020200 xxx 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx （）选择函数模型， 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y A 令 y 0 得 sin 1 2 ，因为 0 4 ，所以=6 ， 当 0, 6 时， 0y ， y 是的减函数； 当 , 6 4 时， 0y ， y 是的增函数，所以当=6 时， min 10 10 3y 。 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离 AB 边 10 3 3 km 处。 注：生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最 值，要掌握求最值的方法和技巧。 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定 义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大（小） 值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。 【感悟高考真题】 1.(2020 年广东卷文)函数 x exxf)3()( 的单调递增区间是( D ) A. )2 ,( B.(0,3) C.(1,4) D. ), 2( 解析 ( )(3)(3)(2) xxx fxxexexe ,令 ( )0fx ,解得 2x ,故选 D 2.（2020 安徽卷理）已知函数 ( )f x 在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx ，则曲线 ( )yf x 在点(1, (1)f 处的切线方程是 ( A ) A. 21yx B. yx C. 32yx D. 23yx 解析 由 2 ( )2 (2)88f xfxxx 得几何 2 (2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx ， 即 2 2 ( )(2)44f xfxxx ， 2 ( )f xx /( ) 2fxx ，切线方程 12(1)yx ，即 210 xy 选 A 3.（2020 山东卷文）（本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )3 3 f xaxbxx ,其中 0a （1）当 ba, 满足什么条件时, )(xf 取得极值? （2）已知 0a ,且 )(xf 在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 解: (1)由已知得 2 ( )21fxaxbx ,令 0)( xf ,得 2 210axbx , )(xf 要取得极值,方程 2 210axbx 必须有解, 所以 2 440ba ,即 2 ba , 此时方程 2 210axbx 的根为 22 1 244 2 bbabba x aa , 22 2 244 2 bbabba x aa , 所以 12 ( )()()fxa xxxx 当 0a 时, x(- ,x1) x 1(x1,x2 ) x2(x2,+ ) f(x) 0 0 f (x) 增函数极大值减函数极小值增函数 所以 )(xf 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 0a 时, x(- ,x2) x 2(x2,x1 ) x1(x1,+ ) f(x) 0 0 f (x) 减函数极小值增函数极大值减函数 所以 )(xf 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 ba, 满足 2 ba 时, )(xf 取得极值. (2)要使 )(xf 在区间(0,1上单调递增,需使 2 ( )210fxaxbx 在(0,1上恒成立. 即 1 ,(0,1 22 ax bx x 恒成立, 所以 max 1 () 22 ax b x 设 1 ( ) 22 ax g x x , 2 22 1 () 1 ( ) 222 a x a a g x xx , 令 ( )0g x 得 1 x a 或 1 x a (舍去), 当 1a 时, 1 01 a ,当 1 (0,)x a 时 ( )0g x , 1 ( ) 22 ax g x x 单调增函数; 当 1 (,1x a 时 ( )0g x , 1 ( ) 22 ax g x x 单调减函数, 所以当 1 x a 时, ( )g x 取得最大,最大值为 1 ()ga a . 所以b a 当0 1a 时, 1 1 a ,此时 ( )0g x 在区间(0,1恒成立,所以 1 ( ) 22 ax g x x 在区间(0,1上单 调递增,当 1x 时 ( )g x 最大,最大值为 1 (1) 2 a g ,所以 1 2 a b 综上,当 1a 时, b a ; 当0 1a 时, 1 2 a b 4.（江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 1 o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解析：设 OO1 为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为 222 3(1)82xxx （单位：m） 于是底面正六边形的面积为（单位：m2） 22222 33 3 3(1)6( 82)(82) 42 xxxxxAA 帐篷的体积为（单位：m3） 23 3 313 ( )(82)(1) 1(16 12) 232 V xxxxxx 求导数，得 2 3 ( )(123) 2 V xx 令 ( )0V x 解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2 当 1x2 时， ( )0V x ,V(x)为增函数；当 20 时，令h (x)=0,解得 x= 2 4a , 所以当 0 x0，h(x)在（0， 2 4a ）上递增。 所以x 2 4a 是h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。 所以 （a）=h( 2 4a )= 2a-aln 2 4a =2 当 a 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (ao) （3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 则 1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 01/2 时， 1（a ）0，使得 ) 1)()( 2 axxxhxf ，则称函数 )(xf 具有性质 )(aP 。 (1)设函数 )(xf 2 ln(1) 1 b xx x ，其中b为实数。 (i)求证：函数 )(xf 具有性质 )(bP ； (ii)求函数 )(xf 的单调区间。 (2)已知函数 )(xg 具有性质 )2(P 。给定 1212 ,(1,),x xxx 设m为实数， 21 )1 (xmmx ， 21 )1 (mxxm ，且 1, 1 ， 若| )()(gg |0， 所以对任意的 ), 1 ( x 都有 ( )0g x ， ( )g x 在(1, ) 上递增。 又 1212 ,(21)()xxmxx 。 当 1 ,1 2 mm 时， ，且 112212 (1)(1),(1)(1)xmxm xxm xmx ， 综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知， ( )g x 的导函数 2 ( )( )(21)g xh x xx ，其中函数 ( )0h x 对于任意的 ), 1 ( x 都成立。所以，当 1x 时， 2 ( )( )(1)0g xh x x ，从而 ( )g x 在区间 ), 1 ( 上单调递增。 当 (0,1)m 时，有 12111 (1)(1)mxm xmxm xx ， 12222 (1)(1)mxm xmxm xx ，得 12 ( ,)x x ，同理可得 12 ( ,)x x ，所以由 ( )g x 的 单调性知 ( )g 、 ( )g 12 ( (), ()g xg x ， 从而有| )()(gg | )()( 21 xgxg |，符合题设。 当 0m 时， 12222 (1)(1)mxm xmxm xx ， 12111 (1)(1)m xmxm xmxx ，于是由 1,1 及 ( )g x 的单调性知 12 ( )()()( )gg xg xg ，所以| )()(gg | )()( 21 xgxg |，与题设不符。 当 1m 时，同理可得 12 ,xx ，进而得| )()(gg | )()( 21 xgxg |，与题设不符。 因此综合、得所求的m的取值范围是（0，1）。 【考点精题精练】 一、选择题 1、（2020 届山东莱阳一中月考（文）3已知函数 ( )f x 的导函数 ( )43cosfxx ， 1,1x ，且 (0)0f ，如果 2 (1)(1)0fafa 成立，则实数a的取值范围为（B ） A 0,1 B 1,2 C 2,2 D , 21, 2、（2020 届山东烟台开发区高三月考）12若二次函数 ( )yf x 的图象过原点，且它的导数 ( )yfx 的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则 ( )yf x 的图象顶点在（C） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3、（2020 届山东诸城高三 1 月质检）5. 若函数 ,cos)(xexf x 则此函数图象在点 )1 (, 1 (f 处的 切线的倾斜角为（D） A0B锐角 C直角 D钝角 4、（2020 届福建南靖一中高三月考）8曲线 3 24yxx 在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ B ） A 0 30 B 0 45 C 0 60 D 0 120 5、（2020 届湖南省箴言中学高三一模（理）6、函数 )(xfy 与 )(xfy 的图像不可能是（ D ） 6、（2020 年山东运河中学 10 月月考）11若函数 b3bx6x)x( f 3 在 )1,0( 内有极小 值，则实数b的取值范围是( D ) A )1,0( B )1,( C ),0( D ) 2 1 ,0( 7、（2020 届山东诸城高三 12 月质检）5若函数 ,cos)(xexf x 则此函数图象在点 )1 (, 1 (f 处 的切线的倾斜角为（ D ） A0B锐角 C直角 D钝角 8、（2020 届山东烟台开发区高三月考(文)）12已知函数 32 ( )3f xxxa ，若 (1)f x 是奇 函数，则曲线 ( )yf x 在点(0, ) a 处的切线方程是(C) A 0 x B 2x C 2y D 4y 9、(湖南省2020 年长沙市一中月考)如果 f (x)是二次函数，且 f (x)的图像开口向上，顶点坐 标为(1, )，那么曲线 yf(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（ B ） A(0, B0, )，） C0, ，） D, 10、（广东省普宁华侨中学2020 高三期中考试）已知函数 cbxax x xf2 2 1 3 )( 2 3 ，方程 0)( xf 两个根分别在区间（0，1）与（1，2）内，则 1 2 a b 的取值范围为（ A ） A（4 1 ，1） B ), 1 () 4 1 ,( C ) 4 1 , 1( D（4 1 ，2） 11、下列四个函数，在x=0 处取得极值的函数是（ B ） y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2x A.B. C.D. 12、函数y=的极大值为（ A ） 2 1 6 x x A.3B.4 C.2D.5 二、填空题 1、（2020 年山东运河中学 10 月月考）已知曲线 2 1yx在 0 xx点处的切线与曲线 3 1yx 在 0 xx点处的切线互相平行，则 0 x的值为 0 或 -2/3 2、（2020 届广东高三六校联考（理）设曲线在点（1，1）处的切线与轴的 交点的横坐标为，令，则的值为_-2_ 3、（江苏省靖江市2020 届高三期中）已知函数 y=ax315x236x24,x 0,4x 在 x=3 处有极值， 则函数的最大值是 8 . 4、（浙江省绍兴县鲁迅中学2020 届高三期中）曲线 2 2yxx 在点 1,0 处的切