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上海市理工大学附属中学2020届高三下学期第四次月考数学（理）试题一.填空题(每空4分，共56分)1.已知集合，则=_.2函数的最小值是_ .3关于x的方程 有一个根为（为虚数单位），则实数开始输入a、bab输出输出结束第5题图是否4已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则 的最小值为_5.对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则_.6. 一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球，现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的，用表示摸出的黑球数，则的数学期望=_.7在的二项展开式中，含项的系数等于 _ 8定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点，已知，则的坐标为_.OCBA第9题图9. 如图，是边长为的正方形，AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的体积为 _10已知是椭圆上的一个动点，则的最大值是 11. 在极坐标系中，曲线被直线所截的的弦长为_.12.已知函数，若，且，则_13已知无穷数列，首项，其前项和为，且.若数列的各项和为，则 . 14已知对应法则，现有，是线段上的一个动点，当在线段上从开始运动到结束时，点从运动到，则所经过路线长为_.二.选择题:（每题5分，共20分）15. 若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则为 （ ） (A) (B) (C) (D) 16从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为 （ ） （A） （B） （C） （D）17用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（ ） 18直线不全为与圆有两个公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 （ ）（A）60条 （B）66条 （C）72条 （D）74条三.解答题:（14分+14分+14分+16分+16分）19设函数的最大值为，最小正周期为（1）求的值.（2）20个互不相等的正数满足，且，求 的值.20如图，在直四棱柱中，已知，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离。21.已知复数：，（其中），若，且函数是偶函数.（1）求的值； （2）求函数在上的最小值；（3）求证：对任意实数，函数图象与直线的图象最多只有一个交点.22设数列前项和，且，（1）求数列通项公式，并证明是等差数列（2）证明不等式对任意都成立（3）若数列问是否存在非零整数，使得对于任意正整数，都有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。23已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为（1）求抛物线的方程（2）设直线与抛物线交于两点，且，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，得到和；按此方法继续下去解决下列问题： 求证：；
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