贵州省贵阳市高中数学 2.2用样本估计总体学案4（无答案）新人教版必修3（通用）

专题用样本估计整体 1.基础知识1. 用样本的频率分布估计总体分布1.样本、个体等概念（1） 总体、个体、样本与样本容量：所要考察的对象的全体叫做总体；总体中每一个考察对象叫做个体；从总体中所抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量，样本容量没有单位(2）抽样和普查：采用调查样本的方式来收集数据，这种调查称为抽样调查；而通过调查总体的方式来收集数据的调查称为全面调查，也叫普查2.频率分布直方图a. 频数：将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫改组的频数。 频率：每组数除以全体数据的个数的商叫改组的频率。b. 样本的频率分布：根据随机所抽样本大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值情况），就叫做样本的频率分布。c. 样本频率分布表：将样本的容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，叫做样本频率分布表。d. 频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直直方图。e. 频率分布折线图：把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图。f. 总体密度曲线：如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，曲线中所表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小。这条光滑的曲线就叫做总体密度曲线。2. 用样本的数字特征估计总体的数字特征a. 平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。b. 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫这组数据的众数。c. 中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数或当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数。d. 方差：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。e. 标准差：标准差是方差的算术平方根。3. 茎叶图：它是一种将样本将数组中数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。4. 求一组数据的频率分布的步骤及频率分布直方图的画法 a. 求一组数据的频率分布的步骤：（1）计算极差 （2）决定组距与组数 （3）决定分点 （4）列频率分布表 b. 频率分布直方图画法：（1）先制作频率分布表，然后作直角坐标系，以横轴表示样本数据，纵轴表述频率与组距的比值（2）把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，得到频率分布直方图。5. 标准差、方差的计算方法及应用 （1）算出样本数据的平均数 （2）算出每个样本数据与样本平均数的差 （3）算出 （4）算出方差的算术平方根，即为样本标准差s6几个常用公式(1)有关平均数的几个计算公式：一般公式：简化公式：(其中是的平均数，a为接近样本平均数的较“整”的常数，直接计算繁锁时适用)加权平均数计算公式：其中(相同数据较多时适用)(2)极差、方差、标准差是表示一组数据离散程度的指标，方差有一个较复杂的计算公式：标准差是方差开平方后得到的值，它的数量单位与原数据的数量单位一致2.典型例题1. 概念记忆。例1在频率分布直方图中，小矩形的高表示（ ）A频率/样本容量 B组距频率 C频率D频率/组距例2 已知样本10，8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12，那么频率为0.2的范围为（ ） A 5.57.5 B 7.59.5 C 9.511.5 D 11.513.5例3用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是（）A总体容量越大，估计越精确 B总体容量越小，估计越精确C样本容量越大，估计越精确 D样本容量越小，估计越精确2. 频率分布直方图绘制与应用频率分布直方图是用小长方形的来表示在各个区间内取值的频率直角坐标系中的纵轴表示的比值，即小长方形面积频率；各组频率的和等于，即所有长方形面积的和等于；频率分布表在数量表示上比较，但不够、，不利于分析数据分布的；从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的，但是从直方图本身得不出2连接频率分布直方图中各个小长方形上端的，就得到频率分布折线图随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条曲线，统计中称这条曲线为_密度曲线总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息例：从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是13642，最后边一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：(1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比【变式训练】1.某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.寿命（h）100200200300300400400500500600个 数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.3. 茎叶图的应用将所有的两位数的 位数字作为茎(若是三位数，则将 数字作为茎)， 位数字作为叶，若是两组数据，则共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下排列，共茎的叶一般按从大到小或从小到大同行列出在制作茎叶图时，重复的数字要 记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数据出现几次，就要在图中例“某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538乙：515558521543532559536548527531(1)用茎叶图表示两学生的成绩；(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分【变式训练】为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？做出茎叶图。(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径4. 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现 最多的数据叫做众数；(2)中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把 数据(或 的平均数)叫做中位数，中位数把样本数据分成了相同数目的两部分；(3)平均数：x1，x2，xn的平均数_注：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多， 对极端值不敏感，而 又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性标准差与方差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s_例：甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价 【变式训练】甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是 。【知识点总结】1众数、中位数、平均数的异同(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量， 是最重要的量(2) 的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起 的变动，而中位数和众数都不具备此性质(3)众数考查各数据出现的 ，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题(4)中位数仅与数据的 有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势2茎叶图刻画数据的优点(1)所有数据信息都 在茎叶图中看到(2)茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况3利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 相等，由此可以估计中位数的值(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中 (3)众数：在频率分布直方图中，众数是 的横坐标3.当堂检测1一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：组别(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70频数234542则样本在(20,50上的频率为 ()A12%B40% C60% D70%2甲、乙两名同学在五次数学基本能力测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是 ()AX甲X乙，甲比乙成绩稳定 BX甲X乙，乙比甲成绩稳定C X甲X乙，甲比乙成绩稳定 DX甲X乙，乙比甲成绩稳定3.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在50,60)的汽车大约有（ ） A30辆 B40辆 C60辆 D80辆4(2020福建高考)一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别频数(0,1012(10,2013(20,3024(30,4015(40,5016(50,6013(60,707则样本数据落在(10,40上的频率为()A0.13 B0.39 C0.52 D0.645甲、乙两射击运动员进行比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7,8,9,10环，他们的成绩频率分布条形图如下：由乙击中8环及甲击中10环的概率与甲击中环数的平均值都正确的一组数据依次是()A0.350.258.1 B0.350.258.8 C0.250.358.1 D0.250.358.86(2020四川高考)设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是()A甲批次的总体平均数与标准值更接近B乙批次的总体平均数与标准值更接近C两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定二、填空题7已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_8某地教育部门为了解学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10 000名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)则这10 000人中数学成绩在140,150段的约是_人 9(2020珠海模拟)如图是CBA篮球联赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是_.三、解答题10甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位 mm)：甲：99,100,98,100,100,103乙：99,100,102,99,100,100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求11甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩记录如下：甲8282799587乙9575809085(1)用茎叶图表示这两组