高一数学初高中数学衔接教学中的准备知识（如皋）

初高中数学衔接教学中的准备知识初中数学新课程在我省已实施了两年，高中数学新课程标准也将在今年秋季开始实施，本届高一新生正值高中新教材与初中旧教材的更替时期，对比新、旧教材，无论从教材的设计与功能，还是从教与学的过程与方式上都发生了深刻的变化。我们在迎合这种变化，更新观念的同时，更要注意做好初高中数学衔接教学工作，让学生逐步融入到新课程学习中去。一教材内容的衔接1、集合初中主要涉及自然数集、整数集、有理数集、实数集及不等式的解集，但未明确用集合的形式来表示。高中教材必修1第一章：集合衔接教学1 集合的含义 建议教师在教学中通过章首语，生活实例，让学生对集合进行感性认识，逐步了解集合的含义。2 集合的表示（列举法、描述法）学生表示集合，开始并不适应，建议教师要利用和结合学生已学过的教学内容，让学生感受到运用集合语言表示数学内容的简洁性、准确性。3 三种语言的转换（自然语言、图形语言、集合语言）例如：对于用自然语言描述“某年级先后举行数学、物理、化学三科的竞赛活动，其中有75人参加数学竞赛，68人参加物理竞赛，61人参加化学竞赛，17人同时参加数学、物理竞赛，12人同时参加数学、化学竞赛，9人同时参加物理、化学竞赛，还有6人三科都参加，求参加竞赛的人数”，如果我们分别用A、B、C表示参加数学、物理、化学竞赛的学生组成的集合，再用图形语言来表示上述问题中的关系，这一问题的解决会变得很容易了。2、函数初中主要涉及函数的概念、图象及三种表示法，正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象及其增减性的性质。学生基本能画出图象，利用图象定性分析函数的增减性，并会用待定系数法求函数解析式。高中教材必修1第二章：函数与基本初等函数；必修4第八章：三角函数；必修5第十二章：数列；选修1、选修2：导数及其应用，其中与初中内容联系较紧的是必修1。衔接教学新、旧函数定义的比较在教学中，建议教师要引导学生从变量观念、集合观念正确认识两个概念表述的一致性。重视绘制图象的教学在初中阶段，学生不会利用计算器（机）绘制函数图象，因此教师在教学中除了自身要去学习操作知识外，更要注意与信息技术教学的老师的密切合作。加强函数模型的背景和应用的教学在教学中，建议教师让学生借助教材提供的实例或让学生自己收集现实生活中的指数函数、对数函数、幂函数之类的函数增长模型，了解函数模型的广泛应用。3、立体几何初步初中所涉及的几何图形主要是平面图形。虽然也研究了少量的空间几何体，如圆柱、圆锥的表面积，但学生的空间想象能力并未形成。高中教材必修2第三章：立体几何初步衔接教学重视几何教具的作用进入高中后，学生由于缺乏空间想象能力，因此，新课程一开始就借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征，逐步形成空间图形的感性认识。重视三视图、直观图的教学初中教材未涉及到这些内容，学生学习时较困难，特别是三视图问题。因此，教师应让学生自己先去操作，发现问题后，再予以纠正、小结，这种处理比较有利于学生空间想象能力的培养。重视长方体的教学作用长方体是最简单的空间几何体，建议教师在教学中要充分利用长方体去认识空间点、线、面之间的位置关系，发展学生的空间想象能力。注意类比、转化思想的教学例如：在必修2P.50在棱、锥、台的侧面积、表面积的教学中，让学生准备好正棱柱（锥、台）、圆柱、圆锥五种纸质模型，教师引导回顾在初中研究圆柱、圆锥侧面积的方法，再让学生去实践正棱柱（锥、台）的侧面积得到的过程，最后引导学生分析柱、锥、台的侧面积关系。这种教学设计，一方面注意到了初、高中知识的衔接教学，另一方面充分体现了新课程教学理念，让学生参与知识产生的全过程学习中去。4、平面解析几何初步初中阶段涉及的直线和圆，主要从几何图形及位置关系的性质、判定方面进行定性研究，学生并不懂得用代数的方法去定量研究几何图形的性质。高中教材必修2第四章：平面解析几何初步衔接教学重视平面直角坐标系的引入用方程的观念研究直线和圆，首先要建立平面直角坐标系。但为何要引入平面直角坐标系，往往教学中会忽视。因此，建议教师在教学中要启发学生去思考这个问题。突出数形结合思想方法的过程教学解析几何本质是用代数方法研究几何图形，它沟通了代数与几何间的联系，是本模块的重点。教师在教学中，必须让学生参与这种思想方法的形成与应用的过程中去。新课程内容事实上在这一模块充分注意到了这一点。例如：在必修3P.101研究圆的标准方程时，举了一个引例：河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高7.2m，如何写出这个圆拱的圆的方程？教材通过这一具有历史文化背景的实例，从为何建系？如何建系？如何得方程？逐步引导得到圆的标准方程，由此可以看出新课程非常注重数学思想方法的过程教学。5、统计初中主要涉及平均数、众数、中位数、方差、标准差、频率分布等知识。学生已初步了解用样本平均数去估计总体平均数、用频率分布直方图去研究数据分布等基本的统计思想。学生对如何抽取样本、画频率折线图、密度曲线、画茎叶图并不了解，这是高中教材新增内容 。高中教材必修3第六章：统计衔接教学加强信息技术的教学初中阶段已接触了利用计算器计算平均数、方差、标准差，但在计算机上进行运算，特别是利用计算机绘制频率分布直方图，需要教师进行操作训练。注意新、旧知识的整合例如：在必修3P.50例1：从某高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据如下（单位cm）。试作出该样本的频率分布表。168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174171165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166对于这道例题的教学，可让学生自己收集、处理数据，制表，教师从中发现旧知识掌握的情况，及时回顾小结制表的步骤及注意事项，然后再去研究用Excel制表，画直方图、折线图。这种教学处理既能让学生在实践中对新、旧知识进行有机整合，又让学生动手操作，不至于学得枯燥无味，进而忽视学习这一部分的重要性。6、不等式初中主要涉及不等式的基本性质、一元一次不等式（组）的基本解法等内容，以不等式为背景的实际应用偏少。高中教材必修5第十三章：不等式；选修4第十一节：不等式选讲。其中，必修5与初中教材衔接紧密。衔接教学加强与其他知识间的联系初中阶段学生很少把不等式、方程及函数联系在一起来处理问题，新课程突出了这方面知识的整合，比如一元二次不等式的解法。因此，建议在教学中要引导学生理解三者之间的内在联系。加强不等式的实际应用新课程把不等式作为刻画现实世界中的不等关系的数学工具。如：将线性规划问题作为不等式的应用来处理。淡化解不等式的技巧训练7、算法算法思想已贯穿九年制义务教育之中，如数的运算、式的运算、方程（组）、不等式（组）的解法、各种面积、体积的求法，它们都有各自的运算步骤，其实这种步骤就是算法，只是没有设计成程序框图而已。高中教材必修3第五章：算法初步衔接教学算法的含义建议教师利用学生已学过的数学知识和生活中的实例让学生懂得算法思想在现实世界中无处不在。注重案例教学建议教师通过实例来说明由数学的算法到计算机使用的算法过程，学生容易体会到算法的使用。如果条件允许，尽可能让学生上机实现。 二、教与学的过程比较1、传统的数学教学的一般过程步骤：复习引导讲授新课巩固练习小结布置作业特点：易于使学生理解并掌握系统的数学知识，有利于知识与技能的训练，但学生的主动性难于体现，缺乏学生间的合作与交流，知识产生的过程与方法不易得到显现。 在九年制义务教育阶段，学生接受的绝大多数是这种教学模式，当然，在少数章节中也采取讨论式、发现式的教学，但不足以形成教学气候。2、高中数学教学的一般过程 步骤：问题情境学生活动建构数学数学理论数学应用回顾反思特点：学生的自我探索，发现的主动倾向得到充分发挥，知识产生的过程与方法得到显露，同时知识与技能也得到了系统训练。高中新课程这种教学模式给教师的教学设计与学生的学习探索留下了足够的空间，教学时，教师要注意对教材内容的二次开发。3、案例：函数的概念问题情境教师提出本节课的研究课题：在初中我们已经学习过函数的概念，今天我们进一步地学习有关函数的知识。提出问题1：在初中我们是如何认识函数这个概念的？ 学生活动让学生就问题1略加讨论，教师出示教材中的三个例子，并提出问题2。问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？通过对问题2的讨论，帮助学生回忆初中所学的函数概念，再引导学生回答问题1。 建构数学建构问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？问题4：如何用集合的语言来阐述上面3个例子的共同特点？结论：函数是建立在两个非空数集之间的单值对应。反思：结论是否能正确地概括了例子的共同特征？比较上述认识和初中函数是否有本质上的差异？一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具有上述特征？进一步，你能举出一些“函数”的例子吗？他们具有上述特征吗？（作为例子，可以讨论课本P24练习）数学理论问题5：如何用集合的观点来表述函数的概念？给出函数的定义，指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素。数学应用定义的直接应用例1（课本P21例1）例2（课本P21例2）已知函数确定函数的值域总结反思“初中的”函数定义和今天的定义有什么区别？你认为对一个函数来说，最重要的是什么？4、对案例的分析1对课例展开的程序（模式）问题情境学生活动建构数学数学理论数学应用回顾小结与教材编写程序是一致的。从课例到章到节均采取这种模式2问题串问题1：在初中我们是如何认识函数这一概念的？问题2：在上述例子中，是否确定了函数关系？为什么？问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？问题4：如何用集合的语言来阐述上面3个例子的共同特点？问题5：如何用集合的观点来表述函数的概念？问题6：你认为对一个函数来说，最重要的是什么？3重视思维活动，突出知识产生的过程与方法。新课程中内容的每一节都体现这一学习目标。4重视突出学科的结构，培养学生学习数学的科学态度。从章到节到问题模式化的方法和程序5几点