2020届高三数学一轮复习必备精品：不等式性质及证明

2020学年高三数学(印教版a版)第一次复习资料第31课不等式的性质和证明一.课程要求1.不等关系通过具体情况，感受到现实世界和日常生活中有很多不平等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.基本不等式：(a，b0)探讨和理解基本不平等的证明过程。简单的最大(小)问题用基本不等式解决二、命题趋势不平等总是高考的重点。今后将探讨不等式本质的基础知识和基本方法，以及逻辑推理能力、问题分析、问题解决能力等。本复习内容的时候，要在思想方法上加把劲预测2020年高考命题趋势：1.从问题的种类来看，选择题、填空题都可以调查，并结合不等式的性质、函数、三角剖分综合考察不等式的性质、函数单调性等，主要以选择题的形式出现，答案问题主要以参数不等式的证明、解决为主；2.利用基本不等式解决图像函数的单调性或最大值问题是答词的重点和热点，需要加强训练。三、要点1.不平等的本质两种实数大小的比较方法差异比较方法，即可从workspace页面中移除物件。整理1:如果是；如果是这样的话。是。说明：改变不平等的左右边产生的不平等与原来的不平等不同，称为不平等的对称性。整理2:还有。说明：这个定理证明的主要依据是实数运算的符号法则和两个正数的和仍然是正数。定理2被称为不平等的传递。整理3:如果是。说明：(1)不平等的两边加上相同的错误，结果不平等成为与原不平等相同的方向。(2)定理3的证明对应于比较和大小，使用差集比较方法。(3)定理3的逆命题也成立。(4)不等式中的任何一个改变符号后，都可以将其从一侧移到另一侧。定理3推论：如果。说明：(1)推理的证明连续使用定理3两次，然后由定理2证明。(2)此推论可加在任意有限各向同性不等式的两侧。也就是说，将两个或多个各向同性不等式加到两侧，结果不等式等同于一个不等式。(3)各向同性不等式：两个方向相同的不等式；各向同性不等式：两个等号相反的不等式整理4。如果是；如果是这样的话。推论1:如果是的话。说明：(1)不等式的两端乘以相同的正数，等号方向不变。乘以相同的负数，等号方向不变。(2)两边为正的各向同性不等式的两边分别相乘，结果不等式与原不等式的方向相同。(3)推论可分别乘以任意有限两边为正的各向同性不等式的两侧。两个或多个两边为正的各向同性不等式分别相乘，结果是不等式与原不等式的作用方向相同。推论2:如果是。整理5:如果是这样的话。2.基本不等式整理1:如果是，只拿了“”。说明：(1)指示清理的适用范围：(2)突出显示“”的条件。清理2:如果为正数，(仅限于=)说明：(1)此定理的适用范围：(2)我们称之为算术平均的几何平均。也就是说，两个正数的算术平均值不小于几何平均值。证明不等式的一般方法(1)比较法比较法证明了不平等的一般阶段：差异-变形-判断-结论；为了判断差异的符号，也可以将此差异转换为常数，将其转换为常数和一个或多个平方和的形式，或者将其转换为几个因数的乘积的形式，以判断正负。(2)合成方法利用证明的几个不等式(如算术平均和几何平均的定理)和不等式的性质推导出要证明的不等式，这种证明方法称为综合法。使用已经证明的不等式和不等式的性质时，要注意各自成立的条件。综合法证明，不等式的逻辑关系是：从已知条件中逐步推导出不等式成立所需的条件，得出需要证明的结论。(3)分析方法证明不等式时，有时可以从证明的不等式出发，分析成立这个不等式的充分条件，将证明不等式转换为判断是否具备这些充分条件的问题，如果可以确定这些充分条件都具备的话，就可以得出原来不等式成立的结论，这种方法通常称为分析。(1)“分析”是从证明的不等式出发，分析成立这个不等式的充分条件，判断证明不等式是否具备这些充分条件的问题，即“执行水果小人”。(2)综合过程有时准确地是分析过程的逆推，所以经常通过分析探索证明的途径，将证明的过程写成合成法的形式。四、典型分析问题1:调查不平等本质的主题范例1。(2020安徽卷理性)以下选项中p等于q所需的不足条件如下A.p : b d，q : b和c dB.p : a 1，b1 q :的图像只是第二象限C.p: x=1，q:D.p : a 1，q :是上述附加函数答案a解决方法由 b和c d b d完成，可以由 b d b和c d完成。选择a。(2)(，是实数，是-)A.充分和不必要的条件b .必要和不充分的条件C.先决条件d .充分或不必要的条件回应b解释显然没有确立适当性。并且-和均为真时，添加各向同性不等式使用- 解说：主要在本题中测试。不等式稳定成立的条件不完整，必须选择枝节组合，才能得出正确的结论。范例2 .(1) (2020天津圈滚理性)，x的不等式的解中只有3个整数的话A.b.c.d回答c(2)(2020重庆体积)如果不等式对任意实数是常数，则实数的范围为()A.BC.D.答案a分析对任何x都是常量意见：这个问题测试不平等的基本性质。问题2:基本不等式范例3 .(2020天津卷理论)最低条件A.8 b.4 C.1 D确定测试点位置这个问题找到了指数和代数互化，平均不等式的最大使用，测试了灵活性。回答c因为分析，立即选择c(如果“=”有效)范例4 .(1)如果实数a，b满足a b=2，则3a 3b的最小值为()A.18 B.6 C.2 D.2(2) a b 1，p=，q=(LGA lgb)，r=LG()时()A.r p q b.p q rC.q p rd.p r lgb 0，lga lgb ，即q p，另外，/a b 1，lga lgb、R q，p q 0，b 0，并验证a b=1(a)(b)。证据1:(综合方法分析)证据4 (ab) 2 4 (a2 B2)-25ab 4 0，卡4 (ab) 2-33 (ab) 8 0，卡ab或ab8a 0，b 0，a b=1，ab8不能成立可以用1=a b2，ab证明。卡2:(平均替代方法)设定A=t1、b=T2。a b=1，a 0，b 0，t1t2=0，| t1 | ，| T2 | 0，b 0， a b 2，ab，证据4:(合成法) a b=1，a 0，b 0， a b 2，ab，即可从workspace页面中移除物件。卡5:(三角替代法)a 0，b 0，a b=1，因此a=sin2，b=cos2，0，意见：比较法有不等式(商)、变形、判断三个阶段，变形的主要方向是因数分解、公式，判断过程需要详细说明。如果以后的公式可以用任何变量的二次性来整理，请考虑板门店证范例6 .寻找a (x 0，y 0)设定为常数的最小值。分析：此故障排除3确定三角转换后a的值范围。在这种情况下，由于将x，y映射到cos，sin ，因此也包括a sin cos ，但缩小了(1) x，y的范围，因此a sin cos 无效。(2)这个交换等于这个问题加上x，y=1等条件。显然，这是错误的。两种方法除了了解常用的重要不等式外，还通过以下基本事实确定这些不等式：如果参数a满足不等关系，af(x)，则amin=f(x)max为af(x)，amax=f(x)min还有一种三角替代法，寻找可以改变原来问题的最大值的适当优点。解法1:因为a的值为正数，所以将已知不等式两边平方。路得记：x y 2a2(x y)，即2(a2-1)(x y)，x，y 0，x y2，只有在X=y的情况下，等号才成立。比较， a的最小值满足a2-1=1，a2=2，a=(因为a 0)，a的最小值为。解决方案2:设置x 0，y 0，x y2(当x=y时，“=”成立)，875 1，的最大值为1。因此u的最大值是，已知获得了Au。a的最小值是，解法3:y 0，原始不等式可转换为1a，设定=tan，(0，)。tan1a，即tans1asecasincos=sin()， (sin)的最大值为1(此时=)。可以通过表达式知道的a的最小值是：评论：这个问题确认了不平等证明、最大函数思想和学生逻辑分析能力。问题本质上是给定条件求最值的题目。a的最大值嵌套在常量成立的不等式中，所以必须以不等式性质提出a。等价转换的思想解决了问题的突破口，然后利用函数思想和重要不等式等推导出最大值问题4:不等式证明的应用范例7 .已知函数f (x)=x，系列| x | (x 0)的第一个条目x=1，后续条目确定为：曲线x=f(x)的切线平行于(0，0)和(x，f(x)通过两点的直线(图解).寻求证据：n点，(I) x (ii)。证明：(I)因为所以有曲线的切线斜率因为果和两点的直线斜率所以。(II)因为函数单调地增加，而且，所以，也就是说所以因为命令因为所以评论：这个问题主要与函数推导、数列、不等式等基本知识和不等式的证明一起调查逻辑推理能力范例8 .已知a 0，函数f (x)=ax-bx2。(1) b 0时，如果所有xr都有f(x)1，则a2；(2) b 1时证明：任意x0，1，| f(x)|1的充分条件为B- 1a2；(3)0 b1时讨论：任意x0 0，b 0，a2。(ii)证明：需要：对于任意x0，1，| f(x)|1-1f(x)，相应地为-1f即a-b 1，aB- 1；任何x0，1，| f(x)|1f(x)1，b 1的f () 1，a-11，B- 1a2。适当性：由于b 1，a b-1，所以任意x0，1、可上市：ax-bx2 b (x-x2)-x x 1，即ax-bx21；因为b 1，a2，任意x0，1，可以使用ax-bx22x-bx21。Ax-bx2 1。1f(x)1。综上所述，b 1时，任意x0，1，| f(x)|1的充分条件是B- 1a2。(iii)解决方案：a 0，0 b1时的任意x0 0，0 b1时，任意x0 b1，| f (x) | 1的先决条件是ab 1。22.解决方案：原始(x-a) (x-a2) 0，x1=a，x2=a2。如果A=a2，则a=0或a=1；如果x-72a 1或a 0；如果a x 在a2中，0 a 1，a2 x a，a 0时为a x a2，0 a 1时为a2 x 1时为a x a2，a=0或a=1时为x。评论：这个问题调查不平等的证明和分类讨论思想。问题5:课程标准创新问题范例9 .三位同学就“相关不等式25 |-5 |上1，12，正确值的范围”的问题提出了各自的解决问题的想法。a说：“不平等的左最小值不小于右最大值。”b说：“左边是变量所在的函数，右边只有常数，求函数的最大值。”c说：“把不等式看作函数，函数图像。”参照上述问题解决方法，他们所讨论的问题的正确结论，即值的范围。答案：a10。评论：这个问题通过设定剧本，将不平等知识纳入一个对话情境中，来调查学生的阅读能力、问题分析、解决问题的能力。范例10 .m(m2)的不同数组P1P2Pn.在pn中，1I Pj(即，前面的数字大于后面的数字)表示Pi和Pj构成相反