四川省内江市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）

四川省内江市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用补集概念及运算即可得到结果.【详解】全集，集合，故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数z，根据共轭复数的定义求出共轭复数，结合复数的几何意义进行判断即可【详解】，共轭复数在复平面内对应的点，共轭复数在复平面内对应点位于第一象限，故选：A【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的除法运算，根据共轭复数的定义求出共轭复数是解决本题的关键3.双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，解得e2，e故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力4.已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（ ）A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】D【解析】【分析】由题意知的展开式的各项系数和为32，求得，再根据二项展开式的通项，即可求解。【详解】由题意知的展开式的各项系数和为32，即，解得，则二项式的展开式中的项为，所以的系数为5，故选D。【点睛】本题主要考查了二项式定理的系数和，及展开式的项的系数的求解，其中解答中熟记二项式的系数和的解法，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。5.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若，则，）A. 7539B. 7028C. 6587D. 6038【答案】C【解析】【分析】由题意正方形的面积为，再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面积比的几何概型求得落在阴影部分的概率，即可求解，得到答案。【详解】由题意知，正方形的边长为1，所以正方形的面积为 又由随机变量服从正态分布，所以正态分布密度曲线关于对称，且，又由，即，所以阴影部分的面积为，由面积比的几何概型可得概率为，所以落入阴影部分的点的个数的估计值是，故选C。【点睛】本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的几何概型的应用，其中解答中熟记正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。6.函数在上图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，结合f（1）的值即可作出判断.【详解】解：f（x）（x）cos（x）（x）cosxf（x），函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）2cos10，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系,利用排除法是解决本题的关键7.已知等差数列的前项和为，且，则其公差为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，列出方程组，即可求解，得到答案。【详解】设等差数列的公差为，由，则，解得，故选B。【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。8.函数的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】利用导数求得函数单调性与最小值，判定最小值，即可得到答案。【详解】由题意，函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，所以函数图象与x轴没有公共点，所以函数没有零点，故选A。【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中利用导数求得函数的单调性和最小值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，以及转化思想的应用，属于基础题。9.某城市有连接8个小区、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他不经过市中心的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共6条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个由此能求出他经过市中心的概率【详解】此人从小区A前往H的所有最短路径为：ABCEH，ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，ADFGH，共6条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共4条，即他经过市中心的概率为，故选：B【点睛】本题考查概率的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用10.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”（已知1丈为10尺）该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（ ）A. 12000立方尺B. 11000立方尺C. 10000立方尺D. 9000立方尺【答案】C【解析】【分析】由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积【详解】解：由题意，将锲体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V13226，四棱锥的体积V21322，由三视图可知两个四棱锥大小相等，VV1+2V210立方丈10000立方尺故选：C【点睛】本题考查几何体体积的计算，正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是关键11.已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由函数是偶函数，得到，得到，分析得出，即可求解。【详解】根据题意，设，则，则由，又由函数是偶函数，则，变形可得，即，必有，分析可得，可得满足题意，故选D。【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，涉及到三角函数和差公式的应用，关键是利用偶函数的性质，得到关于的三角恒等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。12.设椭圆的左右焦点分别为、，上下顶点分别为、，直线与该椭圆交于、两点.若，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，可得，不妨设，则，得，此时椭圆的方程为，则直线的方程为，联立方程组得点，利用斜率公式，即可求解。【详解】由题意，椭圆，且满足，如图所示，则在中，且，所以，不妨设，则，所以，则椭圆的方程为，又由，所以，所以直线的方程为，联立方程组 ，整理得，解得或，把代入直线，解得，即 又由点，所以的斜率为，故选B。【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质的应用，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中根据椭圆的几何性质得出椭圆的方程，再联立方程组，求得M的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.）13.设向量，且，则实数的值是_【答案】2【解析】【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得x的值【详解】解：，且，2x，即x2故答案为：2【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题14.在正项等比数列中，则_【答案】8【解析】【分析】由对数的运算性质，化简求得，再利用等比数列的通项公式，由，即可求解，得到答案。【详解】由对数的运算性质可得，即，所以，在等比数列中，因为，则。【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，求得是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。15.已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移2个单位后关于轴对称，且，则_【答案】-1【解析】【分析】根据函数的奇偶性的性质得到函数具备周期性，即可得到结论【详解】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）0，将的图象向左平移2个单位后，得到g（x）f（x+2）为偶函数，则g（x）g（x），即f（x+2）f（x+2）又是定义在上的奇函数，-f（x2）f（x+2）即f（x）f（x+4），故答案为：【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键16.如图所示，在中，在边上任取一点，并将沿直线折起，使平面平面，则折叠后、两点间距离的最小值为_【答案】【解析】【分析】设，,过点C作于E，过B作交AD的延长线于点F，得到，进而得到，求得，即可求解。【详解】如图所示，设，则,过点C作于E，过B作交AD的延长线于点F，所以，所以，所以 ，当时，。【点睛】本题主要考查了平面图形的折叠问题，及两点间距离的最值，其中解答中过点C作于E，过B作于点F，利用 ，转化为三角函数问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图所示，在中，是边上一点，.（1）求的面积；（2）求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理，求得，得到，进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）由两角和的正弦公式，求得，再在中，利用正弦定理即可求解，得到答案。【详解】（1）在中，由余弦定理得 .，故. .（2）， .在中，由正弦定理得， .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。18.基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2020.112020.122020.012020.022020.032020.04月份代码123456111316152021（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系.如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的型车和800元/辆的型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：车型 报废年限1年2年3年4年总计1030402010015403510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，.参考公式：相关系数，.【答案】（1）能,；（2）应采购款车型.【解析】【分析】（1）由表格中数据，利用公式，求得的值，即可得到回归直线的方程；（2）分别求得100辆款和款单车平均每辆的利润，即可作出估计，得到答案。【详解】（1）由表格中数据可得，. .与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.，关于的线性回归方程为.（2）这100辆款单车平均每辆利润为（元），这100辆款单车平均每辆的利润为（元）。用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式，准确计算的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题。19.如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，是侧棱的中点，过点作平行于、的平面分别交棱、于点、.（1）证明：四边形为矩形；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，由线面平行的性质定理，分别证得和，得到四边形为平行四边形，再由线面垂直的性质定理，证得，即可得到答案。（2）以为原点建立如图的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】（1）如图，设的中点为，连接，平面，平面平面，平面平面，.同理，由平面得，四边形为平行四边形.与都是等边三角形，又，平面，故，又由上知，四边形为矩形.（2）平面平面，平面平面，平面，平面，两两垂直，以为原点建立如图的空间直角坐标系，与都是边长为2的等边三角形，设平面的法向量为，由，令，得.同理可得平面的法向量， .由图形可知，所求二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆：的离心率为，直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率为，求得,再由圆的性质和圆的弦长公式，求得，进而可求解椭圆的标准方程；（2）设的方程：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再利用向量的数量积的运算和代数式的性质，即可得到结论。【详解】（1）椭圆的离心率为，,圆的圆心到直线的距离为,直线被圆截得的弦长为.解得，故，椭圆的方程为.（2）设，当直线与轴不重合时，设的方程：.由得， ，当，即时，的值与无关，此时.当直线与轴重合且时， .存在点，使得为定值.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。21.已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得，利用导数，分类讨论求得函数的单调性，即可求解函数的最小值；（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，分别求得，利用斜率相等，转化为方程有解，设函数，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解。【详解】（1）由题意，可得， ，令，得.当时，在上单调递减，.当时，在上单调递减，在上单调递增，.综上，当时，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，代入得.问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，当时，.问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，当时，.在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，当时，的最小值等价于.又函数在上单调递增，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构