2020版高考数学一轮复习 2.1函数及其表示精品学案

2020版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用【知识特点】1函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。2本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。【重点关注】1函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。2函数的图象及其变换既是高考考查的重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。3导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。4注意思想方法的应用。数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。【地位与作用】一、函数在高考中的地位与作用从2020年、2020年和2020年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：1、 知识点的考查情况映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数y=x+a/x（a0）的图像和性质，从未间断过；函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x（a0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。2、 常考题型及分值情况函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值30分以上，占全卷的20%以上。在高考中占有重要地位。3、 命题热点及生长点情况近年来有关函数内容的高考命题趋势是：全方位. 近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。多层次. 在每年的高考题中，函数题抵挡、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全。抵挡难度一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其它知识结合，或者是多种方法的渗透。巧综合. 为了突出函数在中学中的主要地位，近几年来高考强化了函数对其它知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。变角度. 出于“立意”和创新情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新。重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。二、导数在高考中的地位与作用导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2020年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2020年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测2020年高考呈现以下几个特点：（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型第一节、函数及其表示【高考目标导航】一、考纲点击1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3了解简单的分段函数，并能简单应用。二、热点、难点提示1函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点；2函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点；3题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。【考纲知识梳理】一、函数与映射的概念函数映射两集合设是两个非空数集设是两个非空集合对应关系如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。名称称为从集合到集合的一个函数称为从集合到集合的一个映射记法，对应是一个映射 注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。二、函数的其他有关概念（1）函数的定义域、值域在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素定义域、值域和对应关系（3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。【要点名师透析】一、求函数的定义域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；（5）若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)定义域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域。3、例题解析例1(1)函数的定义域为( )(A)-4,1 (B)-4,0)(C)(0,1 (D)-4,0)(0,1(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.解析： (1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使函数解析式有意义的x的集合，先列出不等式(组)，然后再解不等式(组)，求出解集；(2)注意在对应法则f下，函数f(2x+1)中2x+1 的范围与函数f(x)中x的范围相同.解答：(1)选D.要使有意义，则有： x0 -x2-3x+40 ，解得：-4x0或0x1.所以所求函数的定义域为-4，0)(0，1.(2)函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，12x+13,f(x)的定义域为(1,3).【规律方法】求函数定义域的方法(1)求具体函数y=f(x)的定义域：(2)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.例2设函数则不等式的解集是（ A ）A. B. C. D.解析 由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。例4求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 解：（1）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性的题目时是非常有用的。二、求函数的解析式1、函数的解析式的求法函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x)=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式,此时要注意g(x)的范围;(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).2、例题解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求；解：（1）配凑法：，（或）；（2）换元法：令（），则，；（3）待定系数法：设，则，；（4）方程组法： 把中的换成，得 ，得。提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意义的x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.三、分段函数及实际应用题1、相关链接（1）解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决；（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式，然后再写成分段函数；（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。2例题解析例1我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.思路分析：计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示.解答：设y表示本季度应缴纳的水费(元)，当0x5时，y=1.3x；当5x6时，应将x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分为基本消费1.35，第二部分由基本消费与加价消费组成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=3.9x-19.5，此时y=1.35+3.9x-19.5=3.9x-13，当6x7时，同理y=6.5x-28.6综上可知：.例2某出版公司为一本畅销书定价如下：这里的nN*表示购书的数量，C(n)是订购n本书所付的钱数(单位：元).若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？思路分析：分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列出买书的费用函数，在每一段上求最值，比较大小再求出整个函数的最值.解析：设甲买n本书，则乙买(60-n)本书(不妨设甲买的书少于乙买的书)，则n30,nN*当1n11且nN*时，4960-n59，出版公司赚的钱数f(n)=12n+10(60-n)-560=2n+300；当12n24且nN*时，3660-n48，出版公司赚的钱数f(n)=12n+11(60-n)-560=n+360;当25n30且nN*时，3060-n35，出版公司赚的钱数f(n)=1160-560=360；当1n11且nN*时，302f(n)322；当12n24且nN*时，372f(n)384；当25n30且nN*时，f(n)=360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元.四、函数的综合应用例1 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x) （1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7时，f(x)=(x2)2，求当x16,20时，函数g(x)=2xf(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间1000,1000上的根数为N，求N的最小值。解 （1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+10)f(x)是以10为周期的周期函数。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）当x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2当x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17时，g(x)最大值为16，最小值为9；x（17，20，g(x)g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0所以最少有401个解。且这401个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)= 一般地：当x3，2时，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2当x3,7,f(x)=(x2)2故当x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kZ） 例2 设a是正数，ax+y=2(x0,y0)，记y+3xx2的最大值是M(a)，试求：（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。解 将代数式y+3xx2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求M(a)。（1）设S(x)=y+3xx2,将y=2ax代入消去y，得：S(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0) y0 2ax0而a0 0x下面分三种情况求M(a)(i)当03a0)，即时解得 0a1或2a0)即时，解得：1a2，这时M(a)=S()=2a+3 =+(iii)当3a0；即a3时M(a)=S(0)=2综上所述得：M（a）=（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。当0a1或2a2当1a2时M(a)=+=2()2+1a21当=时，M(a)取小值，即M(a)M（2）=当a3时，M(a)=2经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3a是否在定义域区间0，内，这样就引出三种讨论情况，找出解题的方案。【感悟高考真题】1（2020浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是 ( )A若，则B若，且，则C若，则 D若，且，则答案：C 【解析】对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有2(2020山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2020）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2020）= f（5）=1,故选C.答案:C.3（2020年全国卷一1）函数的定义域为（ C ）ABCD答案：C4（上海卷11）方程x2+x10的解可视为函数yx+的图像与函数y的图像交点的横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 (, 6)(6,+); 5. （2020辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值 范围是 (A)0,) (B) (D) 【答案】D【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为，即tan a-1,所以6.（2020上海文数）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 (0,-2) 。解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）【考点精题精练】一、选择题1.下列各组函数中表示相同函数的是( )【解析】选D.对于A，两函数的对应法则不同；对于B，两函数的定义域不同；对于C，两函数的定义域不同，对于D，两函数的定义域都为x|xR,x0，对应法则都可化为y=1(x0).2已知f：xsin x是集合A(A0,2)到集合B= 0, 的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )(A)4个 (B)5个 (C)6个 (D)7个【解析】选B.当sin x=0时，x=0、2；当sin x=时，x=、；所以，集合A中的元素个数最多有5个.3下列函数中，与函数有相同定义域的是( )(A)f(x)=lnx (B)f(x)= (C)f(x)=|x| (D)f(x)=ex【解析】选A.函数的定义域为x|x0；函数y=lnx的定义域为x|x0；函数y=的定义域为x|xR,x0；函数y=|x|的定义域为R；函数y=ex的定义域为R，故选A.4.若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1，则f(x)=( )(A)x-1 (B)x+1(C)2x+1 (D)3x+3【解析】选B.2f(x)-f(-x)=3x+1 2f(-x)-f(x)=-3x+1 2+得：3f(x)=3