华师附中2020年高考数学（理）最后一次模拟试卷

华师附中2020年高考数学（理）最后一次模拟试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B) = P(A) + P(B) S = 4pR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(AB) = P(A)P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P. V = pR 3那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 Pn(k) = Cnk P k (1P) nk第一部分 选择题（共40分）一、(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若A、B是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是(A) AB(B) AB(C) = AB(D) AB22222主视图左视图2俯视图2. 若 (a2i ) i = bi ，其中a、bR，i 是虚数单位，则 a 2 + b 2等于(A) 0(B) 2(C) (D) 53. 点 P(cos 2020,sin 2020) 落在第( )象限(A) 一(B) 二(C) 三(D) 四4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8 + (B) 4 + (C) 8 + 4p(D) yxO11xO11yyxO11yxO115. 函数y = 1| xx 2 | 的图象大致是(A) (B)(C)(D) 开始s = 0,n = 2n g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.21. (本小题满分14分)如图，曲线 y = 上的点 Pi(ti2,ti)（i = 1,2,n,）与 x 轴正半轴上的点 Qi 及原点 O 构成一系列正PiQi1Qi（Q0与O重合），记 an = | QnQn1 |(I)求 a1的值；(II)求数列 an 的通项公式 an(III)设 Sn为数列 an 的前 n 项和，若对于任意的实数 l0,1，总存在自然数 k，当 nk时，3Sn3n + 2(1l) (3an1) 恒成立，求 k 的最小值.yOP1xP2P3Q1Q2Q3参考答案一、BDCA CACD二、9. 1200 10. 0 11. 1 12. 2 13. 3 14. 1 15. 3三、16. 解：(I) 当 x = 时，cos = 1分 = 2分 = cos x = cos = cos 3分0p， 4分 = 5分(II)f (x) = 2ab + 1 = 2 (cos 2 x + sin x cos x) + 1 6分 = 2 sin x cos x(2cos 2 x1) 7分 = sin 2xcos 2x 8分 = sin (2x) 9分x,， 2x,2p， 10分故 sin (2x)1, 11分当 2x= ，即 x = 时，f (x)max = 1 12分17. 解：(I) x 的所有可能取值为3400，2400，1400，400.2分(II) P(x = 3400) = ( ) 3 = 4分 P(x = 2400) = C31( ) ( ) 2 = 6分 P(x = 1400) = C32( ) 2 ( ) = 8分 P(x = 400) = C33( ) 3 = 10分 x 的分布列为x340024001400400P12分18. (I) 证：平面PAD平面PCD1分2分4分(II)解：设 E 为PD中点，连 AE 5分由PAD为正三角形得 AEPD 6分又平面PAD平面 PCD AE平面PCD 7分由几何意义知，PD中点 E，即为平面PCD上使 | 最小的唯一点。 8分(III)解：过E作EGPC，垂足为G，连AG， 9分由 (II) 知AE平面PCD，AGPC 10分AGE是二面角APCD的平面角. 11分设底面正方形边长为2a，ABCDPEGAD = 2a，ED = a， AE = a由 = ，EG = 12分tanAGE = = = 13分cosAGE = 14分19. 解：(I) 设 B(2,0) 1分则| + | + | | = | | + | | 2分 = | | + | | = 6 3分M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆 4分由c = 2，2a = 6 a = 3 b = 1 5分M 的轨迹 C的方程为 + y 2 = 1 6分另解：(I) 设点M(x,y)，则+= (x + 2,y), = (x2,y) 2分| + | + | | = 6+ = 6 4 3分故点 M 的轨迹是以 (2,0) 为焦点，长轴长为 6 的椭圆 4分a = 3,c = 2,b = 1 5分故点M的轨迹方程为 6分(II)设直线 l 的方程为 y = kx + 2（k0且k存在）， 7分由 得x 2 + 9 (kx + 2) 2 = 9，即 (1 + 9k 2) x 2 + 36kx + 27 = 0 8分= (36k)2427 (1 + 9k2) 0即 9k23 0， k (*) 9分设P(x1,y1)，Q(x2,y2) x1 + x2 = ，x1x2 = 10分以 PQ 为直径的圆过原点，x1x2 + y1y2 = 0，即x1x2 + (kx1 + 2) (kx2 + 2) = 0(1 + k 2) x1 x2 + 2k (x1 + x2) + 4 = 0 11分即 + 4 = 0 12分解得k = 满足 (*) 13分满足条件的直线 l 存在，且直线 l 的方程为：x3y + 6 = 0或 x + 3y6 = 0 14分20. 解：(I) 由题意得 f (e) = pe2ln e = qe2 1分 (pq) (e + ) = 0 2分而 e + 0p = q 3分(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 4分令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当 p = 0时， h(x) = 2x， x 0， h(x) 0， f(x) = 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = (0,+)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1适合题意. 7分 当 p 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = (0,+)只需 h(0)0，即 p0时 h(x)0在 (0,+) 恒成立.故 p 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1 7分由 f(x)0 p (1 + )0 p p()min，x 0而 0 且 x 0 时， 0，故 p0 8分综上可得，p1或 p0 9分(III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) 2,2e 10分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 11分 0 p 1 时，由x 1,e x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 2，不合题意。 12分 p1 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增，f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e)2ln e 2 p 13分综上，p 的取值范围是 (,+) 14分21. 解：(I) 由 P1(t12,t1)（t 0）， 1分得 kOP1 = = tan = t1 = 2分P1(,) 3分a1 = | Q1Q0 | = | OQ | = | OP1 | = 4分(II)设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn1的方程为：ytn = (xtn2) 5分可得 Qn1(tn2,0) 6分直线 PnQn的方程为：ytn = (xtn2)，可得 Qn(tn2 + ,0) 7分所以也有 Qn1(tn12 + ,0)，得 tn2= tn12 + ，由 tn 0，得 tntn1 = tn = t1 + (n1) = n 8分Qn(n(n + 1),0),Qn1(n(n1),0)an = | QnQn1 | = n 9分(III)由已知对任意实数时 l0,1 时