2020届新课标数学考点预测（20）--坐标系与参数方程（二）

2020年新课程标准数学测试点预测(20)坐标系和参数方程(2)坐标和参数方程是根据高考中各省的情况选择的。一般来说，它们是相对简单的问题，有5-10分。它们通常用于选择几个可选模块中的一个，如几何证明选择、不等式选择、和矩阵和变换等。他们的知识相对独立，与其他章节没有什么联系，容易得分。根据不同的几何问题，可以建立不同的坐标系。坐标系的选择是否恰当，关系到求解平面上的坐标方程和点的直线方程以及它们的位置关系的数据建立的难度。有些问题在极坐标系下求解相对简单，而有些问题只要引入一个参数就可以很容易地求解和计算。高考中出现的问题往往是寻找极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程和曲线的普通方程之间的转换，并利用极坐标方程和参数方程来研究相关的距离问题、交点问题和位置关系的确定。一、极坐标在涉及长度和角度的平面几何问题中有许多问题。建立以这两个量为变量的极坐标系统比较容易得到点的坐标和线的方程。然而，在研究极坐标方程时，经常需要用普通方程来转换它们。在变换过程中，以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，两个坐标系取相同的长度单位。如果平面上任意一点p的直角坐标和极坐标分别是和，那么就有一个和的倒数关系，这就在两个方程之间建立了一个桥梁关系，我们可以自由来去。请注意，在极坐标系统中，极径r允许取负值，极角q也可以取任何正或负的角度。当r 0时，点M (r，q)位于极角终端边缘的反向延长线上，并且OM=。M (r，q)也可以表示为1.直接解例1。在极坐标系统中，穿过圆=6cos且垂直于极轴的直线的极坐标方程为分析：将极坐标方程转化为普通方程，得到一条直线，然后得到极坐标方程。解答：从问题的意义上，我们可以看到圆的标准方程是，圆心是(3.0)如果获得直线标准方程x=3，则坐标方程为cos=3。答案：cos=3。解说：当研究极坐标问题时，极坐标方程经常被转换成普通方程来解决问题。例2。(08广东旋度13)已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为。分析：本课题给出极坐标方程，交点为极坐标，可以直接求解。解：解联立方程，即两条曲线的交点是。回答：解说：本主题中已知的和期望的是极坐标问题，因此可以直接解决。当然，它也可以转换成普通方程的解。2.根据极坐标计算最大值例3。(2020大丰市)已知a是曲线=3上的任意一点，并得到从a点到直线=1的距离的最大值和最小值。分析：极坐标方程可以转化为普通方程，然后结合图形来解决问题。解：将极坐标方程转化为直角坐标方程：=3，即：X2 Y2=3X，(X-) 2 Y2=cos=1，即x=1，直线与圆相交。最大值为2，最小值为0解说：将极坐标方程转化为普通方程是解决两条曲线位置关系的重要方法。例4。(2020盐城)在极坐标系统中，将圆上的点到直线的距离设置为最大值。分析：众所周知，圆是一个极坐标方程，它可以转换成一个普通的方程，然后重写解说：当寻找点和线之间的距离时，它经常被转换成普通方程的解，并且一个人必须学习转换的思想和数字和形状结合的思想。3.极坐标方程研究两条曲线之间的位置关系例5。(江苏省南通市2020)找出被圆(是参数)切割的直线的弦长(T是参数)。分析：将参数方程转化为判断位置关系的通用方程，利用中心距和半径计算弦长。解答：直线方程转换成普通方程。圆被转换成普通方程。从圆的中心到直线的距离，弦长。所以被圆切割的直线的弦长是。注释：一般方程可以通过消除参数获得，平方和关系通常用于消除正弦和余弦函数的参数。第二，参数方程参数方程是曲线点位置的另一种表示。它通过中间变量间接连接曲线上移动点的两个坐标。为了理解曲线，参数方程与柔性方程是同等描述的。参数方程实际上是一组方程，其中曲线上M点的横坐标和纵坐标分别是。(1)建立直角坐标系，将曲线上任意点的p坐标设置为：(2)选择合适的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质和物理意义，建立了点p坐标和参数的函数公式；(4)证明该参数方程是曲线方程。找到曲线的参数方程的关键是参数的选择。选择参数的原则是，当参数比较明显时，曲线上任何一点的坐标关系都比较简单。对于与运动相关的问题，选择时间作为参数，对于与旋转相关的问题，选择角度作为参数，或者选择直线的数量、长度、倾斜角和斜率。将一个参数方程转换成一个公共方程的过程就是消除参数的过程。有三种常用的方法：代换法：用解方程的技巧求出参数T，然后代换消去参数。三角测量：使用三角恒等式消除参数。积分消去法：根据参数方程本身的结构特点，从整体上进行消去。将参数方程转化为通用方程，就是在参数消去过程中要注意变量与值域的一致性，求和域的值域必须根据参数的值域来确定。熟悉常用曲线的参数方程，如圆、椭圆、双曲线、抛物线和通过一点的直线，并且每个参数的含义要清楚。在研究直线和它们的位置之间的关系时，通常的技巧是把它们转换成普通方程的解。1.两条曲线之间的位置关系例1。(08海南，宁夏科学)已知曲线C1:(参数)，曲线C2: (t是参数)。(一)指出C1和C2分别是什么曲线，并解释C1和C2之间的共同点数量；(ii)如果C1和C2上的每个点的纵坐标减少到原始纵坐标的一半，则分别获得曲线和书面参数方程。它们与C上的公共点数和公共点数相同吗？解释你的理由。分析：从参数方程来看，曲线C1是一个圆，曲线C2是一条直线。曲线的一般方程判断也可以通过剔除参数得到。通过参数方程对图像进行变换，得到曲线，然后将该方程转化为一个通用的方程组，确定交点的个数。解：(1)是一个圆，是一条直线。一般方程是，圆心，半径。因为从圆心到直线的距离是，所以只有一个共同点。(二)压缩参数方程为：(作为参数)；(t是一个参数)。它被转换成如下的一般方程：同时消去导致它的判别式，所以压缩的直线和椭圆仍然只有一个公共点，这与数字相同解决方案：曲线是参数，代表以原点为中心，1为半径的右半圆。如图所示，直线和曲线有两个不同的交点，直线应该在两者之间两条直线之间回答：解说：熟悉的曲线通常由数字和形状的组合来解决。例3。(广东，李13，2020)在平面直角坐标系XOY中，直线L的参数方程为(参数)，圆C的参数方程为(参数)，则圆C的中心坐标为，圆心到直线L的距离为。分析：将参数方程转化为普通方程，用点到直线的距离公式求解。解决方案：消除参数，获取；擦除的参数，得到x y=6，所以圆c的中心坐标是(0，2)。从圆心到直线l的距离是=，或者直线的方程式是x y-6=0，从圆心到直线l的距离是d=。回答：(0，2)；注释：对于包含正弦和余弦的参数方程，正弦和余弦的平方和通常用于参数变换。例4。(江苏卷2020)在平面直角坐标系中，一个点是椭圆上的一个移动点，并且获得最大值。分析：由于已知的条件椭圆是二次型，并且所需的最大值是二次型，因此椭圆圆的方程需要重写为参数方程，并通过一个应用程序替换为参数方程。解答：因为椭圆的参数方程是，因此，我们可以将移动点的坐标设置为。因此所以，当时，最大值是2。注释：当函数为一次且已知为两次时，它通常由曲线的参数方程找到。它的本质是元素或三角形的替换，其目的是降低阶。2.极坐标方程和参数方程混合例5。(2020南通四县)已知曲线C的极坐标方程。极轴是平面直角坐标系的原点，极轴是X轴的正半轴。建立了平面直角坐标系。直线L的参数方程为：计算直线L与曲线C相交形成的弦长。分析：本主题中的曲线是极坐标方程，直线是参数方程。如果需要弦长，它们应该被统一成共同的方程，并进一步求解。解：将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程，也就是说，直线L的参数方程被转换成一般方程X-Y-1=0。从曲线c的圆(2，0)的中心到直线l的距离是，所以由直线l和曲线c的交点形成的弦的弦长是。解说：本课题中同时出现的极坐标方程和参数方程的问题应统一为共同的方程解；被圆切割的直线的弦长通常由中心距离和半径决定。例6。(2020宁夏银川一中)已知椭圆的极坐标方程为，点F1和F2为其左右焦点，直线的参数方程为(t为参数，t r)。(一)寻找直线和曲线c的一般方程；(ii)求出从点F1和F2到直线的距离之和。分析：本主题中的椭圆是极坐标方程，直线是参数方程。首先，它们被转换成普通方程，然后从点到直线的距离公式计算距离。求解：()直线的一般方程为：曲线的一般方程为从*到直线的距离从点到直线的距离评论：本主题主要考察极坐标方程和参数方程转化为普通方程的过程。当极坐标方程被转换成一个公共方程时，它可以通过公式被转换，即在同一乘法的右侧的分母被去除以获得公共方程。然而，对于参数方程，需要减去这两个公式来消除参数。例7。(淮安、徐州、宿迁、连云港2020)已知在直角坐标系x0y中，直线L的参数方程为(t为参数)。极坐标系统建立于1.(潮南区08)如果移动点M(x，y)与点A(0，1)相交且为(t)，则它的轨迹方程为通过分析：可以知道直线倾角的大小，从而写出轨迹方程。解答：从直线的倾角来看，直线通过点A (0，1)，所以直线方程为或评注：可以根据已知条件直接写出直线方程，要求我们熟悉常见曲线的参数方程，如圆、椭圆、双曲线、抛物线和通过一点的直线，并明确每个参数的含义。2.(江苏启东中学2020)在极坐标系统中，从O极画出的一条直线与另一条直线在M点相交，取om上的一点P。(1)求点P的轨迹方程；(2)将R设置为图上的任何一点，并试图找到RP的最小值。分析：取OM上的点p，我们可以知道点p的极角与点m的极角相同，我们可以将点p设置为极坐标解。解决方法：(1)假设，因为在直线上，所以(2)从直线的和来看，点P的轨迹是一条垂直于极轴的直线，与极轴的距离是3。因此，RP的最小值是1。注释：阐明了极坐标的含义以及极坐标中极径和极角的含义。3.穿过点P (-3，0)且倾角为30的直线和曲线在点A和点B相交。求线段AB的长度。分析：由已知交点P (-3，0)和倾角为30的直线，可以写出该直线的标准参数方程，并根据参数的几何意义求解弦长。解答：直线的参数方程为，曲线可以转换为。将直线的参数方程代入上述方程，我们得到。让a和b的相应参数为，.ab=。解说：掌握直线、圆和圆锥曲线的参数方程及其简单应用，并熟练地将其参数方程转化为普通方程。由于直线的参数方程是标准的参数方程，即直线上点到点的距离，弦长可以通过寻找两点参数之间的差值直接得到。应注意应用参数的几何意