2020学年度上学期高三数学第一轮复习数列单元测试题 人教版

2020 学年度上学期高三数学第一学年度上学期高三数学第一轮轮复复习习数列数列单单元元测试题测试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，abccab103cba 则=（ ）a A4 B2 C2 D4 2已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是（ ） A5 B4 C3 D2 3在等差数列中，已知则等于（ ） n a 123 2,13,aaa 456 aaa A40 B42 C43 D45 4在等差数列an中，若 aa+ab=12，SN是数列an的前 n 项和，则 SN的值为（ ） A48 B54 C60 D66 5设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 ，则（ ） S 3 S 6 1 3 S 6 S 12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 6设是公差为正数的等差数列，若，则 n a 123 15aaa 123 80a a a 111213 aaa （ ） A B C D1201059075 7已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若，且 A、B、C 三点共线OCaOAaOB 2001 （该直线不过原点 O），则 S200（ ） A100 B101 C200 D201 8在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 n a 1 2a n n S1 n a n S （ ） A B C D 1 22 n 3n2n31 n 9设，则等于（ ） 4710310 ( )22222() n f nnN ( )f n A B C D 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n 10弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子 尽可能的少，那么剩下的弹子有（ ） A3 B4 C8 D9 11设数列的前 n 项和为，令，称为数列，的“理 n a n S 12n n SSS T n n T 1 a 2 a n a 想数”，已知数列，的“理想数”为 2020，那么数列 2， ，的 1 a 2 a 500 a 1 a 2 a 500 a “理想数”为（ ） A2002 B2020 C2020 D2020 12一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到)(xfy ) 1 , 0( 1 a)( 1nn afa 的数列满足，则该函数的图象是 n a)( * 1 Nnaa nn A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上. 13数列an中，若 a1=1，an+1=2an+3 （n1），则该数列的通项 an= . 14 . 11 10 11 3 11 2 11 1 , 24 4 )(ffffxf x x 则设 15在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某 商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第 2、3、4、堆最底层（第 一层）分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上， 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以表示第 n 堆的乒乓球总数，则)(nf ； （答案用 n 表示）.)3(f)(nf 16已知整数对排列如下， ,4 , 2,5 , 1,1 , 4,2 , 3,3 , 2,4 , 1,1 , 3,2 , 23 , 1,1 , 2,2 , 1,1 , 1 则第 60 个整数对是_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分） 数列an的前 n 项和记为 Sn， 11 1,211 nn aaSn （1）求an的通项公式; （2）等差数列bn的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且，又成等比数列， 3 15T 112233 ,ab ab ab 求 Tn 18 （本小题满分 12 分） 设数列、满足：，（n=1，2，3，）， n a n b n c 2 nnn aab 21 32 nnnn aaac 证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，） n a n c 1 nn bb 19 （本小题满分 12 分） 已知数列，其中是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 3021 ,aaa 1021 ,aaa 是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）. 201110 ,aaad 302120 ,aaa 2 d0d （1）若，求；40 20 ad （2）试写出关于的关系式，并求的取值范围； 30 ad 30 a （3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列 403130 ,aaa 3 d 推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什 么样的结论？ 20 （本小题满分 12 分） 某市去年 11 份曾发生流感，据统计，11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有 20 人，此后， 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病 毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人，到 11 月 30 日止，该市在这 30 日内感染该病毒的患者总共 8670 人，问 11 月几日，该市感染此病毒 的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21 （本小题满分 12 分） 等差数列中，公差是自然数，等比数列中， n a 1 2a d n b 1122 ,ba ba （）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使 的项d n b n ad n b 不都是中的项（不必证明）； n a （）判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；4d n b n a （）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由d n b n a 22 （本小题满分 14 分） 已知数列中，（n2，）， n a 1 1 2 n n a a Nn （1）若，数列满足（），求证数列是等差数列； 5 3 1 a n b 1 1 n n a b Nn n b （2）若，求数列中的最大项与最小项，并说明理由； 5 3 1 a n a （3）（理做文不做）（理做文不做）若，试证明：21 1 a21 1 nn aa 参考答案 1D依题意有 2 2 , , 310. acb bca abc 4, 2, 8. a b c 2C ，故选 C 3 30255 15205 1 1 d da da 3B 等差数列中， 公差 n a 1 2a 23 13aa3d 42 4561 3345aaaaddd 1 312ad 4B 因为，所以=54，故选 B 4619 12aaaa 19 9 9() 2 aa S 5A 由等差数列的求和公式可得且 31 1 61 331 ,2 6153 Sad ad Sad 可得0d 所以，故选 A 61 121 615273 12669010 Sadd Sadd 6B1 2322 153155aaaaa ， 123222 8080a a aad aad ， 将 2 5a 代入，得 3d ，从而 111213122 33103530105aaaaad .选 B 7A 依题意，a1a2001，故选 A 8C因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 n a 1 2 n n aq 1 n a 22 12112221 2 (1)(1)(1)22 (12 )01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即，所以，故选择答案 C2 n a 2 n Sn 9D f（n）=，选 D 3(1) 4 3 2122 (81) 127 n n 10B 正四面体的特征和题设构造过程，第 k 层为 k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第 k 层正四面体为则前 k 层共有 , kkkk k 22 1 321 2 ，k 最大为 6，剩 4，选 B 60 6 21 21 2 1 21 2 1 222 kkk kkL 11A认识信息，理解理想数的意义有， ，选 A 2002 501 4984995002501 , 500 498499500 2004 500321500321 aaaaaaaa 12A函数认识数列 ，则函数在上为凸函数，选 A xyNnaafa nnn ),( * 1 ) 1 , 0( 13由，即=2，所以数列3是以（+3）为首项，以 2 为公比 11 2332(3) nnnn aaaa 1 3 3 n n a a n a 1 a 的等比数列，故3=（+3），=3. n a 1 a 1 2n n a 1 2n 14由，整体求和所求值为 5 11xfxf 15 2 ) 1( )()(1 11211 nn aaaaaanaa nnnnn 的规律由，所以)(nf )2( 2 ) 1( ) 1()( n nn anfnf n 2 2 ) 1()( 2 23 )2()3( 2 22 ) 1 ()2( 1) 1 ( 2 2 2 n nfnf ff ff f 所以)321 ()321( 2 1 )( 222 nnnf 6 )2)(1( 2 ) 1( 6 ) 12)(1( 2 1 nnnnnnnn 16观察整数对的特点，整数对和为 2 的 1 个，和为 3 的 2 个，和为 4 的 3 个，和为 5 的 4 个，和 n 为的 n1 个，于是，借助估算，取 n=10，则第 55 个整数对为，注意横 2 1 321 nn n 1 ,11 坐标递增，纵坐标递减的特点，第 60 个整数对为 7 , 5 17 （1）由可得，两式相减得 1 21 nn aS 1 212 nn aSn 11 2,32 nnnnn aaa aan 又 故an是首项为 1，公比为 3 得等比数列 . 21 213aS 21 3aa 1 3n n a （2）设bn的公差为 d，由得，可得，可得， 3 15T 123 15bbb 2 5b 故可设 13 5,5bd bd 又由题意可得解得 123 1,3,9aaa 2 51 5953dd 12 2,10dd 等差数列bn的各项为正， 0d 2d 2 1 322 2 n n n Tnnn 18必要性：设数列是公差为的等差数列，则： 1 n a 1 d =0， )( 311nnnn aabb)( 2 nn aa )( 1nn aa)( 23 nn aa 1 d 1 d （n=1，2，3，）成立； 1 nn bb 又=6（常数）（n=1，2，3，）2)( 11 nnnn aacc)( 12 nn aa)(3 23 nn aa 1 d 数列为等差数列. n c 充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，）， 2 n c 2 d 1 nn bb 21 32 nnnn aaac 4322 32 nnnn aaac 得：=)( 22 nnnn aacc)(2 31 nn aa)(3 42 nn aa 21 32 nnn bbb )( 12nnnn cccc 221 2)(dcc nn 从而有 21 32 nnn bbb 2 2d 321 32 nnn bbb 2 2d 得：0)(3)(2)( 23121 nnnnnn bbbbbb ，0)( 1 nn bb0 12 nn bb0 23 nn bb 由得：（n=1，2，3，），0 1 nn bb 由此，不妨设（n=1，2，3，），则（常数） 3 dbn 2 nn aa 3 d 故 3121 32432daaaaac nnnnnn 从而 3211 324daac nnn 31 524daa nn 得：， 311 2)(2daacc nnnn 故（常数）（n=1，2，3，）， 311 )( 2 1 dccaa nnnn 32 2 1 dd 数列为等差数列. n a 综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，）. n a n c 1 nn bb 19 （1）. 3,401010.10 2010 ddaa （2）， ，)0(11010 22 2030 ddddaa 4 3 2 1 10 2 30 da 当时，.), 0()0,(d 30 7.5,a （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 时， n a 1021 ,aaa1n 数列是公差为的等差数列. )1(1011010 , nnn aaa n d 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. )1(10n ad )1(10n a 研究的结论可以是：由， 323 3040 11010ddddaa 依次类推可得 . 1 ),1(10 , 1, 1 1 10 110 1 )1(10 dn d d d dda n n n 当时，的取值范围为等.0d )1(10n a),10( 20设第 n 天新患者人数最多，则从 n+1 天起该市医疗部门采取措施，于是，前 n 天流感病毒感染者总人数，构成 一个首项为 20，公差为 50 的等差数列的 n 项和，而后 Nn,nnn nn nSn 30152550 2 1 20 2 30n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为，公差为 30，项数60503050120nn 为 30n 的等差数列的和，依题设构建方 ,nn nn nnTn1485024456530 2 605030 605030 2 程有，化简，,nnnn,TS nn 8670148502445655258670 22 或（舍），第 12 天的新的患者人数为 20+（121）50=570 人.故 11 月 1212058861 2 n,nn49n 日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为 570 人. 21 （1）时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）;0d n a n b 时，的项不都是中的项 （任一正奇数均可）;1d n a n b （2） 时，4d 422(21), n ann 的项一定都是中的项 1 2 3n n b 1 31 2(21) 2 n m a 1 31 ( 2 n m 为正整数）， n b n a （3）当且仅当取（即非负偶数）时，的项都是中的项d2 (*)k kN n b n a 理由是：当时，时，2 (*)dk kN2(1) 221 (1), n anknk2n ，其中 11122 11 2 (1)2(CC1) nnnn nnn bkkkk 1122 11 CC nnn nn kkk 是的非负整数倍，设为（），只要取即（为正整数）即可得，kAk*AN1mAm nm ba 即的项都是中的项；当时，不是整数，也不可能 n b