2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析.doc

课时作业56最值、范围、证明问题第一次作业基础巩固练1已知动圆C与圆C1：(x2)2y21相外切，又与直线l：x1相切(1)求动圆圆心轨迹E的方程；(2)若动点M为直线l上任一点，过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A，B两点，求证：kMAkMB2kMP.解：(1)由题知，动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E的方程为y28x.(2)证明：由题知当直线AB的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB的方程为xmy1，联立消去x，得y28my80，64m2320恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(1，t)，则y1y28m，y1y28，x1x28m22，x1x21，而2kMP2t，kMAkMBt，所以kMAkMB2kMP.2. 如图，已知椭圆E：1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F(1,0)，过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C，6.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q，求MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程解：(1)由题知A(a,0)，C(0，a)，故B，代入椭圆E的方程得1，结合a2b21，得a24，b23，故椭圆E的方程为1.(2)由题知，直线l不与x轴重合，故可设l：xmy1，代入1得(3m24)y26my90，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，连接ON，由Q与M关于原点对称知，SMNQ2SMON|y1y2|，1，34，SMNQ3，当且仅当m0时，等号成立，MNQ面积的最大值为3，此时直线l的方程为x1.3(2019河南洛阳统考)已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp21.p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为ykx，A，B.由消去y整理得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.M，N.kAN.又x22py，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切4已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.5(2019合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，0，0b0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，ABF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)当ABF2的面积最大时，求l的方程解：(1)由椭圆的定义知4a4，a，由e知cea1，b2a2c21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，|F1F2|2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy1，联立xmy1与y21，得(m22)y22my10，|y1y2|，SABF222，当m211，m0时，SABF2最大为，l：x1.2(2019广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围解：(1)由题意知，2cb，a2b2c2，解得c1，a2，b.所以椭圆M的标准方程是1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)，直线AB：ykxm.将ykxm，代入1得，(4k23)x28kmx4m2120.则x1x2，x1x2.因为B，C，F2共线，所以kBF2kCF2，即，整理得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0，所以2k(mk)2m0，解得m4k.所以直线AB：yk(x4)，与x轴交于定点P(4,0)因为y3x，所以(x14，y1)(x11，y1)x5x14yx5x112.因为2x1|FF|2，由椭圆的定义知，2a4，c1，所以动点P的轨迹方程E为1.(2)设P点坐标为(m，n)(n0)，则Q点的坐标为(m，n)，且3m24n212，所以直线QA：y(x4)，即nx(4m)y4n0，直线PF：y(x1)，即nx(m1)yn0.联立方程组解得xB，yB，则1，所以点B恒在椭圆E上设直线PF：xty1，P(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x整理得(3t24)y26ty90，所以y1y2，y1y2，所以|y1y2|，从而SPAB|FA|y1y2|.令(1)，则函数g()3在1，)上单调递增，故g()ming(1)4，所以SPAB，即当t0时，PAB的面积取得最大值，且最大值为.4(2019河北邢台模拟)已知椭圆W：1(ab0)的焦距与椭圆：y21的短轴长相等，且W与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A，直线l与直线OA(O为坐标原点)垂直，且l与W交于M，N两点(1)求W的方程；(2)求MON的面积的最大值解：(1)由题意可得故W的方程为1.(2)联立得.又A在第一象限，kOA.故可设l的方程为y3xm.联立得31x218mx3m2120.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|MN|.又O到直线l的距离为d，则MON的面积Sd|MN|，S(m231m2)，当且仅当m231m2，即m2时，满足0，故MON的面积的最大值为.5(2018天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(