大学入学考试中心九十三学年度数学学科能力测验试卷

大学入学考试中心九十三学年度数学学科能力测验试卷第一部分选择题一单一选择题说明第1至6题每题选出最适当的一个选项每题答对得5分答错不倒扣( ) 1.已知一等差数列共有十项且知其奇数项之和为15偶数项之和为30则下列哪一选项为此数列之公差 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5( ) 2.下列选项中的数何者最大其中n!n (n1) 2 1(A)10010 (B)10100 (C)5050 (D)50! (E)( ) 3.右图阴影部分所示为复数平面上区域Az：zr(cosisin)0 r 1 之略图令Dw：wz3zA试问下列选项中之略图何者之阴影部分与区域D最接近( ) 4.在坐标空间中给定两点A(1 , 2 , 3)与B(7 , 6 , 5)令S为xy平面上所有使得向量垂直于向量的P点所成的集合则 (A)S为空集合 (B)S恰含一点 (C)S恰含两点 (D)S为一线段 (E)S为一圆( ) 5.设ABC为平面上的一个三角形P为平面上一点且t其中t为一实数请问下列哪一选项为t的最大范围使得P落在ABC的内部(A)0t (B)0t (C)0t (D)0t (E)0t( ) 6.台湾证券交易市场规定股票成交价格只能在前一个交易日的收盘价（即最后一笔的成交价）的涨跌7%范围内变动例如某支股票前一个交易日的收盘价是每股100元则今天该支股票每股的买卖价格必须在93元至107元之间假设有某支股票的价格起伏很大某一天的收盘价是每股40元次日起连续五个交易日以跌停板收盘（也就是每天跌7%）紧接着却连续五个交易日以涨停板收盘（也就是每天涨7%）请问经过这十个交易日后该支股票每股的收盘价最接近下列哪一个选项中的价格 (A)39元 (B)39.5元 (C)40元 (D)40.5元 (E)41元二多重选择题说明第1至5题每题至少有一个选项是正确的选出正确选项每题答对得5分答错不倒扣未答者不给分只错一个可获2.5分错两个或两个以上不给分( ) 1.中山高速公路重庆北路交流道南下入口匝道分成内外两线车道路旁立有标志外侧车道大客车专用请选出不违反此规定的选项 (A)小型车行驶内侧车道 (B)小型车行驶外侧车道 (C)大客车行驶内侧车道 (D)大客车行驶外侧车道 (E)大货车行驶外侧车道( ) 2.在坐标平面上下列哪些方程式的图形可以放进一个够大的圆里面(A)3x2y2 (B)3x22y21 (C)3x22y21 (D)|xy|1 (E)|x|y|1( ) 3.如右图OABCD为一金字塔底是边长为1之正方形顶点O与ABCD之距离均为2试问下列哪些式子是正确的 (A) (B) (C)(D) (E) 2 ( ) 4.从1210这十个数中随意取两个以p表示其和为偶数之机率q表示其和为奇数之机率请问下列哪些叙述是正确的(A)pq1 (B)pq (C)|pq| (D)|pq| (E)p ( ) 5.设f(x)为三次实系数多项式且知复数1i为f(x)0之一解试问下列哪些叙述是正确的(A)f(1i)0 (B)f(2i)0 (C)没有实数x满足f(x)x (D)没有实数x满足f(x3)0 (E)若f(0)0且f(2)0则f(4)0第二部分填充题说明第1至9题每题完全答对给5分答错不倒扣未完全答对不给分 1.某数学老师计算学期成绩的公式如下五次平时考中取较好的三次之平均值占30%两次期中考各占20%期末考占30%某生平时考成绩分别为6882707385期中考成绩分别为8679期末考成绩为90则该生学期成绩为_（计算到整数为止小数点以后四舍五入） 2.某电视台举办抽奖游戏现场准备的抽奖箱里放置了四个分别标有10008006000元奖额的球参加者自行从抽奖箱里摸取一球（取后即放回）主办单位即赠送与此球上数字等额的奖金并规定抽取到0元的人可以再摸一次但是所得奖金折半（若再摸到0就没有第三次机会）则一个参加者可得奖金的期望值是_元（计算到整数为止小数点以后四舍五入） 3.设abc为正整数若alog5202blog5205clog520203则abc_ 4.设ABC为一等腰直角三角形BAC90若PQ为斜边的三等分点则tanPAQ_（化成最简分数） 5.某高中招收高一新生共有男生1008人女生924人报到学校想将他们依男女合班的原则平均分班且要求各班有同样多的男生也有同样多的女生考量教学效益并限制各班总人数在40与50人之间则共分成_班 6.在坐标空间中平面x2yz0上有一以点P(1 , 1 , 1)为圆心的圆而Q(9 , 9 , 27)为圆上一点若过Q与圆相切的直线之一方向向量为(a , b , 1)则a_b_ 7.设270A360且sinAcosA2sin2020若Am则m_ 8.坐标平面上的圆C(x7)2(y8)29上有_个点与原点的距离正好是整数值 9.在坐标平面上设直线Lyx2与拋物线x24y相交于PQ两点若F表拋物线的焦点则_参考答案第一部分选择题一单一选择题 1 C 2 B 3 E 4 A 5 D 6 A二多重选择题 1ACD 2 BE 3 CD 4 AD 5 ABE第二部分填充题 184 2675 3 15 4 5 42 6 53 7. 306 8 12 9 10 解 析 第一部分选择题一单一选择题1设公差为d由题意知因为a2a1a4a3a6a5a8a7a10a9d所以由kj得5d15 d32(A)1001010050(B)10100(102)5010050(C)505010050(D)50!50 49 2 150 50 50 50505010050(E)100 99 52 51100 100 100 10010050故选(B)3由棣美弗定理知wz3r3(cos3isin3)其中0r313故选(E)4【解一】设点P(x , y , 0)为xy一平面上任一点因为所以0即(1x , 2y , 3)(7x , 6y , 5)0 (1x)(7x)(2y)(6y)150 x2y28x8y340 (x4)2(y4)22由实数的平方和恒大于或等于0知道无任何实数xy满足上式故S为空集合【解二】因为所以APB90推得P点在以为直径的球面K(x4)2(y4)2(z4)214上又因球心(4 , 4 , 4)到xy一平面的距离4大于半径所以球面K与xy平面不相交故S为空集合5因为t所以点P必在过E且与平行的直线上其中又(1)当PE时t0 (2)当PD时因DBC三点共线所以t1 t因此当0t时P落在ABC的内部6【解一】依题意最后的收盘价为40(17%)5(17%)540 0.935 1.075又由对数表得log(0.935 1.075)5(log0.93log1.07)5(0.968510.0294)5(0.0021) 0.010510.98951log9.762log0.9762所以收盘价约为40 0.976239.0480 39故选(A)【解二】依题意最后的收盘价为40(17%)5(17%)540(10.07)(10.07)540(10.0049)5401(0.0049)(0.0049)2(0.0049)5 40(15 0.0049)40 0.975539.0200 39故选(A)二多重选择题1此标志意思为外侧车道只限行驶大客车而内侧车道则无限制因此不违反此规定的选项有(A)(C)(D)2(A)y2图形为开口向右的拋物线(B)1图形为椭圆(C)1图形为双曲线(D)|xy|1 xy1或xy1图形为二平行直线(E)|x|y|1图形为正方形故选(B)(E)3设P为O关于平面ABC的对称点因四边形OAPC及OBPD均为平行四边形所以(A)()() 2(B)因为 所以(C)因为 所以(D)因为|2且AOBCOD 所以2 2 cosAOB2 2 cosCOD4因为若两数的和为偶数则两数必都是奇数或都是偶数所以p又若两数的和为奇数则两数必是一奇数一偶数所以q故选(A)(D)5由虚根成双定理知方程式f(x)0的三个根为1i1i其中为实数(A)因1i为方程式f(x)0的一根所以f(1i)0(B)因2i不是方程式f(x)0的一根所以f(2i)0(C)因f(x)x0为3次实系数多项方程式由虚根成双定理知道方程式至少有一实根 因此至少有一实数x满足f(x)x0 f(x)x(D)因f(x3)0为9次实系数多项方程式由虚根成双定理知道方程式至少有一实根 因此至少有一实数x满足f(x3)0(E)因f(0)0且f(2)0根据勘根定理知02又因yf(x)的图形是连续不 断的且与x轴恰交一点(0 , )所以图形在x2的部分恒在x轴的下方因此 f(4)0故选(A)(B)(E) 第二部分填充题1学期成绩为 30%86 20%79 20%90 30%842依题意得所以期望值为(1000800600)(5004003000)600756753alog5202blog5205clog520203 log520(2a 5b 13c)3 2a 5b 13c5203(23 5 13)329 53 133 abc933154设1【解一】因为12()22 1 cos45所以同理因此cosPAQ又因PAQ为锐角所以tanPAQ【解二】建立直角坐标系A(0 , 0)B(0 , 1)C(1 , 0)因为PQ为的三等分点所以P(,)Q(,)因此cosPAQ又因PAQ为锐角所以tanPAQ【解三】由向量分点公式知因为所以 0因此|20同理可得又() ()00所以cosPAQ又因PAQ为锐角所以tanPAQ5设共分成d班因各班有同样的男生数也有同样的女生数所以d为1008与924的公因子又1008与924的最大公因子为84所以d可能为123467121421284284但每班的人数须介于40与50之间即4050 d 38.d48.故d426因为(a , b , 1)所以(a , b , 1) (10 , 8 , 26)0 10a8b260 5a4b130j又方向向量(a , b , 1)与平面x2yz0的法向量(1 ,2 , 1)垂直所以(a , b , 1) (1 ,2 , 1)0 a2b10k由jk解得a5b37因为sinAcosA2(sinAcosA)2(sinAcos30cosAsin30) 2sin(A30)且sin2020sin(5 360204)sin204sin(18024)sin24所以sin(A30)sin24又因300A30390所以A3036024即A3068设P为圆C上任一点O为圆点因C(x7)2(