安徽省淮南市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）

淮南市2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出后可得.【详解】，所以，故选B.【点睛】本题考查集合的运算（并），属于基础题.2.已知复数满足，其中是虚数单位，则的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算计算出后即可求其模.【详解】，所以，故选C.【点睛】本题考查复数的四则运算及复数的概念，属于基础题.3.年月国际数学家大会在北京召开，会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的直角边边长之比为，则在大正方形内随机取点，且此点取自中间白色小正方形部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设大正方形的边长为，根据直角三角形的直角边边长之比为可得小正方形的边长为，依据两个正方形的面积可得所求的概率.【详解】设大正方形的边长为，则图中直角三角形的直角边的长度分别为： ，故小正方形的边长为，所以大正方形内随机取点，且此点取自中间白色小正方形部分的概率为，故选C.【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等4.已知实数，满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据指数函数的单调性可得，再根据幂函数的单调性可得.【详解】因为，所以，而为上的增函数，故，故选D.【点睛】本题考查指数函数、幂函数的单调性，属于基础题.5.已知是双曲线的一个焦点，若点与点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】点与连线的斜率与渐近线的斜率的乘积为得到，从该式可解出离心率的大小.【详解】点与连线的斜率为，因该线与渐近线垂直，故即，也就是，所以，故选B.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组6.已知，的夹角为，若互相垂直，则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，结合向量数量积的运算即可得解.【详解】因为相互垂直，所以，整理得到，故，故，故选A.【点睛】向量数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.7.某几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，侧视图是直角梯形，俯视图由一个半圆和一个等腰直角三角形组成，则该几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图复原几何体，结合三视图中的数量关系，即可得解.【详解】几何体由一个四棱锥和半圆柱构成，其中四棱锥的底面为边长为的正方形，高为2，半圆柱的底面的半径为1，高为2，故几何体的体积为：，故选D.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简，再逆用两角和的余弦公式可得所求的值.【详解】题设中的三角函数式可化为：，整理得到：，从而，即，故选A.【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算时的值可得的规律，从而可得输出结果.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，所以的值周期性出现，故当，为.【点睛】对于框图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出框图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.10.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育：“乐”，音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学。某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”必须排在第一，“数”不能排在最后，“射”和“御”要相邻，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】【分析】就“射”或“御”排在最后和“射”和“御”均不在最后两种情况分类讨论即可.【详解】如果“射”或“御”排在最后，那么“射”和“御”有两种排法即种，余下3种才能共有种排法，故此时共有中排法；如果“射”和“御”均不在最后，那么“射”和“御”有种排法，中间还余两个位置，两个位置可选一个给“数”，有2种排法，余下两个位置放置最后的两个基本才能，有，故共有种排法，综上，共有36种排法，选B.【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑11.已知函数的部分图像如图所示，则函数单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由得到，再根据得到，根据的范围可得，最后根据求得函数的单调增区间.【详解】由图像可知，故，因，故，又得到，故，因，故，所以，所以.所以，令，所以，函数的单调增区间为：，故选A.【点睛】已知的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算.当无法确定函数的最高点或最低点的坐标时，可根据图像所过的特殊点得到满足的方程，再根据它们的范围得到相应的取值.12.已知函数若函数有两个零点，则（ ）A. B. 或C. 或D. 或或【答案】D【解析】【分析】先利用导数得到在上的单调性及最值，再画出在上的图像，利用与的图像有两个不同的交点可得的值.【详解】当时，当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数，所以当时，的最小值为.又在上，的图像如图所示：因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，故或或，若，则，故，则，若，则.综上，选D.【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围或讨论零点性质时，要根据各段函数图像的特点判断零点的个数或性质，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.若变量，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：平移动直线至时，有最大值，又得，故，故填.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率14.在中，三内角，对应的边分别为，且，.则_.【答案】【解析】【分析】把题设中的边角关系化为，利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，从该方程中可得.【详解】因为，故，由正弦定理可以得到，故，因，所以，故，因，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.15.过抛物线的焦点的直线与抛物线分别交于第一、四象限内的、两点，分别以线段、的中点为圆心，且均与轴相切的两圆的半径为、.若，则直线的倾斜角为_.【答案】【解析】【分析】过作准线的垂线，垂足分别，过作的垂线，垂足为.利用抛物线的几何性质可以得到，在直角梯形中可求，从而可求得，由后者得到直线的倾斜角.【详解】由题设有，设，过作准线的垂线，垂足分别，过作的垂线，垂足为.则，故，所以，而，所以，故直线的倾斜角为.填.【点睛】一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质来转化，有两个转化的角度：（1）利用圆锥曲线的定义转化为与另一个焦点相关的数学问题；（2）利用圆锥曲线的统一定义把问题转化为与曲线上的动点到相应准线的距离问题.16.已知平面上放置棱长为的正四面体，若该四面体绕棱旋转，使点到平面的距离为，如图所示.则点到平面的距离等于_.【答案】【解析】【分析】和在平面内的射影构成直角梯形，而且射影的连线过的中点，在该直角梯形中，通过解三角形的方法可求出到平面的距离.【详解】过作平面的垂线，垂足分别为，连接，则过中点，如图所示，在直角梯形中，.所以，而，所以，因此，所以，故，所以.【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算.注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知各项均不为的等差数列的前项的和为，若，且，成等比数列.（I）求数列的通项公式与；（II）设，数列的前项的和为，求证：.【答案】（I）,；（II）见解析【解析】【分析】（I）根据题设条件得到关于的两个方程，求出它们后可得及.（II）利用裂项相消法可求，由不等式的性质可得.【详解】（I）设等差数列的公差为，则.由，成等比数列知，即.所以因，于是，解得，.（II）因，所以 .所以原不等式成立.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.已知四棱锥，为等边三角形，为的中点.（I）证明：平面；（II）若为等腰三角形，且，求二面角的余弦值.【答案】（I）见解析；（II）【解析】【分析】（I）取的中点，连接，则，从而得到平面.在四边形中，可证，从而平面，因此平面平面，故可得平面.（II）连接，作于点，作于点，连接，可证为二面角的平面角， 在中，从而可得二面角的余弦值.【详解】（I）取的中点，连接，则，又平面，平面所以平面.连接，由，可知，且，则，所以，又平面，平面所以平面，而，所以平面平面.又因为平面，所以平面.（II）连接，因为为等腰直角三角形，则.而且，所以.又，所以平面，而平面，所以平面平面，作于点，作于点，连接，因平面平面，平面，所以平面.又平面，所以，因，则平面，平面，所以.所以为二面角的平面角.不妨设，则在中，所以，所以所以二面角的余弦值为.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19.某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程.在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物.该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，其质量指标的等级划分如表：质量指标值产品等级优秀良好合格不合格为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种.并随机抽取了甲、乙两不品种的各件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图（图甲和图乙）.图甲：甲品种产品质量指标值频率分布直方图图乙：乙品种产品质量指标值频率分布直方图（I）若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取件，记“抽出乙品种产品中至少件优等品”为事件，求事件发生的概率；（结果保留小数点后位）（）若甲、乙两个品种的销售利润率与质量指标值满足下表：质量指标值销售利润率其中.试分析，从长期来看，种植甲、乙哪个品种平均利润率较大？【答案】（I）；（II）见解析【解析】【分析】（I）先根据频率分布直方图得到“从乙品种产品中抽取一件为优等品”的概率，再利用二项分布可求.（II）根据甲乙的频率分布直方图得到各自的利润率的分布列，求出利润率的数学期望后可比较两者的平均利润率谁较大.【详解】（I）设“从乙品种产品中抽取一件为优等品”的概率为，则根据频率分布直方图可得，则（II）由频率分布直方图可得，甲品种产品的利润率的分布列为乙品种产品的利润率的分布列为 由于，所以，即.故种植乙品种的平均利润率较大.【点睛】频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是，在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）20.在平面直角坐标系内，有一动点到直线的距离和到点的距离比值是.（I）求动点的轨迹的方程；（II）已知点，若不在轴上，过点作线段的垂线交曲线于点，求的取值范围.【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）设动点的坐标为，根据其几何性质得到相应的坐标方程，化简后可得曲线的方程.（II）设直线的方程为，则直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理求出、的坐标后得到 .最后利用换元法可求该函数的值域.【详解】（I）设动点的坐标为，根据题意得 ，化简得曲线的方程为：.（II）因为不在轴上，故直线的斜率不为，设直线的方程为，则直线的方程为.由得.设，所以，即.故.得.设，由椭圆对称性可知.由解得，所以.所以 .设，则，. .令，则.所以是一个增函数，所以 .综上，的取值范围是.【点睛】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程. 直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，利用直线过已知点（在椭圆上）可求直线与椭圆的另一个交点坐标（用斜率表示），再由距离公式得到目标函数后利用换元法可求函数的值域.21.已知函数（其中是自然对数的底数，）在点处的切线方程是.（I）求函数的单调区间；（II）设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）递减区间为，单调递增区间为；（II）【解析】【分析】（I）根据切线方程得到，解出的值后利用导数可得的单调区间.（II）在上恒成立等价于在上恒成立.利用导数可求的最小值.我们也可以利用函数不等式得到，从而变形后可得的最小值.两种方法都可以得到的取值范围.【详解】（I）由条件可知，对函数求导得，于是，解得.所以，令得，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.故函数的单调递减区间为，单调递增区间为（II）由（I）知，解法1：要使上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可.令，则，所以在上单调递增，又，所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增，因，两边同时取自然对数，则有，即，构造函数，则，所以函数在上单调递增，因，所以，即，所以 ，即，于是实数的取值范围是.解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.先证明，令，则.于是当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）.所以当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数的取值范围是.【点睛】曲线在某点处的切线蕴含曲线对应的函数在点的横坐标处的值及其导数值. 含参数的不等式的恒成立问题，应优先考虑参变分离的方法，把恒成立问题转化为函数的最值（或最值的范围）问题来处理，有时新函数的最值点（极值点）不易求得，可采用设而不求的思想方