高一数学空间角专题 二面角学案 人教版A 必修2

高一数学空间角专题 二面角学案一、基本知识 二面角定义：从一条直线出发的两个 所成的角叫做 ，这条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做 。 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角并且用二面角的平面角大小来表示二面角的大小因此，若设平面与平面所成的角为，那么的范围是 。二、经典范例（一）定义法【典型例题1】若正四棱锥的底面边长为，体积为，求它的侧面与底面所成的二面角的大小。【变形应用1】若正三棱锥底面边长为4，体积为1，求侧面和底面所成二面角的正切值。EDCBAD1C1B1A1【变形应用2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；（2）当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的余弦值。（二）垂面法【典型例题2】在二面角L内部有一点P，PA平面垂足为A，PB平面垂足为B，且PA=1，PB=3，AB=，求二面角L的大小。【变形应用1】已知二面角L的大小为120，点P为其内部一点，PA平面垂足为A，PB平面垂足为B，且PA=4，PB=6，（1）求线段AB的长度。（2）求点P到棱L的距离。【变形应用2】在120的二面角MlN中，AM，BN，已知点A和B到棱l的距离分别为2和4，且AB=10，求： 直线AB与棱l所成的角； 直线AB与平面N所成的角。【变形应用3】在600的二面角L的棱L上取两点A、B，在两个半平面、内分别作垂直于棱的线段AC、BD，已知AB=AC=BD=a，那么CD的长为（ ） A a B 2a C 3a D（三）三垂线定理法【典型例题3】三棱锥VABC中，VA=，VC=1，AB=BC=，且VAVC，点V在平面ABC内的射影H恰好落在AC上，求二面角VABC的正切值。【变形应用1】如图，已知，斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，且AA1A1C，AA1=A1CC1CBAB1A1 求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小； 求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。ABCP【变形应用2】如图：PA平面ABC，ACBC， PB 、PC与平面ABC所成的角分别是300和450，求二面角APBC的余弦值。（四）射影面积法【典型例题4】已知平面，三角形ABC的边，点A在平面上的射影为，为斜面ABC与射影所成二面角的平面角，求证：(其中S为斜面三角形ABC的面积，S1为射影三角形面积)。EDCBAD1C1B1A1M【变形应用1】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是棱BB1的中点，平面A1C1M与平面ABCD所成的二面角的余弦值为 【变形应用2】在正三棱ABCA1B1C1中，求平面A1BC1与平面ABC所成二面角的余弦值。三、小结：作二面角的平面角的方法 定义法：在二面角的棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角 三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角的平面角 垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成