2013年陕西省高考数学试卷（理科）

2013年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则RM为（）A1，1B（1，1）C（，1）（1，+）D（，11，+）2（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A25B30C31D613（5分）设，为向量，则|=|是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为（）A11B12C13D145（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）ABCD6（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A若|z1z2|=0，则=B若z1=，则=z2C若|z1|=|z2|，则z1=z2D若|z1|=|z2|，则z12=z227（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定8（5分）设函数f（x）=，则当x0时，ff（x）表达式的展开式中常数项为（）A20B20C15D159（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A15，20B12，25C10，30D20，3010（5分）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）Ax=xB2x=2xCx+yx+yDxyxy二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11（5分）双曲线=1的离心率为，则m等于 12（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 13（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x1|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为 14（5分）观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为 选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15（5分）（不等式选做题） 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 16（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知PD=2DA=2，则PE= 17（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2+y2x=0的参数方程为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18（12分）已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（） 求f（x）的最小正周期（） 求f（x）在0，上的最大值和最小值19（12分）设an是公比为q的等比数列（）试推导an的前n项和公式；（） 设q1，证明数列an+1不是等比数列20（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，（） 证明：A1C平面BB1D1D；（） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小21（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望22（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8（） 求动圆圆心的轨迹C的方程；（） 已知点B（1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线过定点23（14分）已知函数f（x）=ex，xR（） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；（） 设x0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m0）公共点的个数（） 设ab，比较与的大小，并说明理由2013年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则RM为（）A1，1B（1，1）C（，1）（1，+）D（，11，+）【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解【解答】解：由1x20，得1x1，即M=1，1，又全集为R，所以RM=（，1）（1，+）故选：C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题2（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A25B30C31D61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值当x=60时，则y=25+0.6（6050）=31，故选：C【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误3（5分）设，为向量，则|=|是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到 =，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解：=，若a，b为零向量，显然成立；若cos=1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立而，则与的夹角为为零角或平角，有 因此是的充分必要条件故选：C【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题4（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为（）A11B12C13D14【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人从而得出从编号481720共240人中抽取的人数即可【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人所以从编号1480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481720共240人中抽取=12人故选：B【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题5（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）ABCD【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率【解答】解：扇形ADE的半径为1，圆心角等于90扇形ADE的面积为S1=12=同理可得，扇形CBF的在，面积S2=又长方形ABCD的面积S=21=2在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P=1故选：A【点评】本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题6（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A若|z1z2|=0，则=B若z1=，则=z2C若|z1|=|z2|，则z1=z2D若|z1|=|z2|，则z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案【解答】解：对（A），若|z1z2|=0，则z1z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，所以为真；对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，所以为假故选：D【点评】本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题7（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得ABC的形状【解答】解：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题8（5分）设函数f（x）=，则当x0时，ff（x）表达式的展开式中常数项为（）A20B20C15D15【分析】依题意，可求得ff（x）=，利用二项展开式的通项公式即可求得ff（x）表达式的展开式中常数项【解答】解：当x0时，ff（x）=的展开式中，常数项为：=20故选：A【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题9（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（）A15，20B12，25C10，30D20，30【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40x0，40y0，xy300，再由，得y=40x，代入xy300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：，且40x0，40y0，xy300，由，得y=40x，x（40x）300，解得10x30故选：C【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目10（5分）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（）Ax=xB2x=2xCx+yx+yDxyxy【分析】本题考查的是取整函数问题在解答时要先充分理解x的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用【解答】解：对A，设x=1.8，则x=1，x=2，所以A选项为假对B，设x=1.4，2x=2.8=3，2x=4，所以B选项为假对C，设x=y=1.8，对A，x+y=3.6=3，x+y=2，所以C选项为假故D选项为真故选：D【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11（5分）双曲线=1的离心率为，则m等于9【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出【解答】解：双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9故答案为9【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键12（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2所以体积故答案为：【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力13（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x1|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为4【分析】先根据曲线y=|x1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2xy的最大值即可【解答】解：如图，封闭区域为三角形令|x1|=2，解得x1=1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（1，2），（3，2），把z=2xy变形为y=2xz，则直线经过点（1，2）时z取得最小值；所以zmin=2（1）2=4，故2xy在点（1，2）取最小值4故答案为：4【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值属于基础题14（5分）观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可【解答】解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2当n为偶数时，分组求和（1222）+（3242）+（n1）2n2=，当n为奇数时，第n个等式左边=（1222）+（3242）+（n2）2（n1）2+n2=+n2=综上，第n个等式为故答案为：【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15（5分）（不等式选做题） 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为2【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，dR 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2其中等号当且仅当时成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2可得（am+bn）（bm+an）（+）2=mn（a+b）2=21=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2故答案为：2【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题16（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知PD=2DA=2，则PE=【分析】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解PE的值【解答】解：因为BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，EPDAPE，PD=2DA=2PE2=PAPD=32=6，PE=故答案为：【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力17（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2+y2x=0的参数方程为，R，且【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程【解答】解：将圆方程化为（x）2+y2=，可得半径r=，OP=2rcos=cos，x=OPcos=cos2，y=OPsin=sincos，则圆的参数方程为，R，且故答案为：，R，且【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18（12分）已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（） 求f（x）的最小正周期（） 求f（x）在0，上的最大值和最小值【分析】（）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期（） 通过x在0，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【解答】解：（）函数f（x）=（cosx，）（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x）最小正周期为：T=（）当x0，时，2x，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，sin（2x），f（x），1，所以函数f （x）在0，上的最大值和最小值分别为：1，【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力19（12分）设an是公比为q的等比数列（）试推导an的前n项和公式；（） 设q1，证明数列an+1不是等比数列【分析】（I）分q=1与q1两种情况讨论，当q1，0时，利用错位相减法即可得出；（II）分当存在nN*，使得an+1=0成立时，显然不成立；当nN*（n2），使得an+10成立时，使用反证法即可证明【解答】解：（I）当q=1时，Sn=na1；当q0，1时，由Sn=a1+a2+an，得qSn=a1q+a2q+an1q+anq两式错位相减得（1q）Sn=a1+（a2a1q）+（anan1q）anq，（*）由等比数列的定义可得，a2a1q=a3a2q=0（*）化为（1q）Sn=a1anq，；（）用反证法：设an是公比为q1的等比数列，数列an+1是等比数列当存在nN*，使得an+1=0成立时，数列an+1不是等比数列当nN*（n2），使得an+10成立时，则=，化为（qn11）（q1）=0，q1，q10，qn110，故矛盾综上两种情况：假设不成立，故原结论成立【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力20（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，（） 证明：A1C平面BB1D1D；（） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小【分析】（）要证明A1C平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1CBD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1CE1O由线面垂直的判定定理问题得证（）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小【解答】（）证明：A1O面ABCD，且BD面ABCD，A1OBD；又在正方形ABCD中，ACBD，A1OAC=O，BD面A1AC，且A1C面A1AC，故A1CBD在正方形ABCD中，AO=1，在RtA1OA中，A1O=1设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，A1CE1O又BD面BB1D1D，且E10面BB1D1D，且BDE1O=O，A1C面BB1D1D；（）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），由（）知，平面BB1D1D的一个法向量，设平面OCB1的法向量为，由，得，取z=1，得x=1则=所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题21（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望【解答】解：（）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1=，P（A）=，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1）（1）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，P（X=1）=（1）2+（1）（1）+（1）（1）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，P（X=2）=（1）+（1）+（1）=，当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，P（X=3）=（）2=，X的分布列如下：X0123P数学期望EX=0+1+2+3=【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率22（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8（） 求动圆圆心的轨迹C的方程；（） 已知点B（1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线过定点【分析】（）设圆心C（x，y），过点C作CEy 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y20，y1y20.，利用角平分线的性质可得kPB=kQB，可化为化为8+y1y2=0又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点【解答】解：（）设圆心C（x，y）（x0），过点C作CEy 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，（x4）2+y2=