湖南省衡阳市第八中学2020学年高一数学下学期12月五科联赛试题

2020年下期衡阳市八中高一五科联赛数学试题考试范围：集合及其运算、函数及其性质、三角函数的图像与性质1、 选择题：本大题共12小题，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.1已知集合,集合，则（ ）A. B. C. D. 2函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 3已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4若，则则的值等于（ ）A. B. C. D. 5已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D.7用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（）A. B. C. D. 8关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为9设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 10如果函数对任意的实数，都有，且当时， ，那么函数在的最大值与最小值之差为（ ）A. B. C. D. 11已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 ；14当时，幂函数为减函数，则实数的值为_；15某教室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）变化近似地满足函数关系：，则该天教室的最大温差为_；16下列说法正确的是_ 任意，都有； 函数 有三个零点；的最大值为； 函数为偶函数；不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.三、解答题：本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）设全集，集合.（1）求；（2）若集合，且，求的取值范围.18（本小题满分12分）已知，若为第二象限角，且，求的值；已知，求的值19 （本小题满分12分）已知函数.（1）当时，证明： 为偶函数；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.20（本小题满分12分）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.（1）写出函数的解析式；（2）求函数数的单调递增区间和对称中心；（3）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.21（本小题满分12分）某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为，其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元，其中（1）当时，如何进行投资才能使得总收益最大；（总收益）（2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于，求的取值范围22（本小题满分12分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界已知函数（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否有上界，请说明理由；（2）若，函数在是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）已知为正整数，当时，是否存在整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由2020年下期衡阳市八中高一五科联赛数学试题命题人：刘亮生、赵永益 审题人：唐志军考试范围：集合及运算、函数及其性质、三角函数图像与性质3、 选择题：本大题共12小题，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.1已知集合,集合，则A. B. C. D. 【答案】A2函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D3已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A4若，则则的值等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】C5已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C6函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】B7用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（）A. B. C. D. 【答案】B8.关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 是奇函数 B. 在区间上单调递增C. 为其图象的一个对称中心 D. 最小正周期为【答案】C9.设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A10如果函数对任意的实数，都有，且当时， ，那么函数在的最大值与最小值之差为（ ）A. B. C. D. 【答案】C11已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C12设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时， ，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C题号123456789101112答案ADACCBBCACCC二、填空题:本题共6小题，每小题5分，共20分.13设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 。【答案】14当时，幂函数为减函数，则实数的值为_【答案】15某教室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）变化近似地满足函数关系：，则该天教室的最大温差为_【答案】3 16下列说法正确的是_ 任意，都有； 函数 有三个零点；的最大值为； 函数为偶函数；不等式在上恒成立, 则实数的取值范围为.【答案】三、解答题：本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17设全集，集合.（1）求；（2）若集合，且，求的取值范围.【答案】（1）由得，解得，。又（2）由题意得，解得.实数的取值范围为。18已知，若为第二象限角，且，求的值；已知，求的值【答案】（1） ，又因为为第二象限角，所以， （2）因为，所以19已知函数.（1）当时，证明： 为偶函数；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.【答案】（1）当时， ，定义域关于原点对称，而，说明为偶函数；（2）在上任取、，且，则，因为，函数为增函数，得， ，而在上单调递增，得， ，于是必须恒成立，即对任意的恒成立，；（3）由（1）、（2）知函数在上递减，在上递增，其最小值，且，设，则， 于是不等式恒成立，等价于，即恒成立，而，仅当，即时取最大值，故20将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.（）写出函数的解析式；（）求函数数的单调递增区间与对称中心的坐标；（）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.【答案】：解：（） ；（）（）问题可转化为研究直线与曲线的交点情况.在上的草图为：当或时，直线与曲线没有交点；当或时，直线与曲线 上有1个交点，由函数的周期性可知，此时；当时，直线与曲线 上有2个交点，由函数的周期性可知，直线直线与曲线 上总有偶数个交点；当时，直线与曲线 上有3个交点，由函数的周期性及图象可知，此时.综上所述，当， 或， ，或时， 在上恰有个零点.21某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为，其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元，其中（1）当时，如何进行投资才能使得总收益最大；（总收益）（2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于，求的取值范围【答案】（1）当时， 令，则，其图象的对称轴当时，总收益有最大值，此时.即甲种产品投资百万元，乙种产品投资百万元时，总收益最大（2）由题意知恒成立，即恒成立，令，设，则则，其图象的对称轴为，当，即时，可得，则，当，即时，可得恒成立， 综上可得.实数的取值范围是.22定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界已知函数（I）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否有上界，请说明理由；（II）若，函数在是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；（III）已知为正整数，当时，是否存在整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说