江苏省南京市六校联合体2020届高三数学上学期一模联考试题（含解析）（通用）

江苏省南京市六校联合体2020届高三数学上学期一模联考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合A1，2，3，4，Bx|x24x0，则AB_解：，2，3，2，故答案为：，2，2已知复数，则复数的共轭复数为_解：，故的共轭复数是：3某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_解：女学生人数所占的比例为，则应抽取的女学生人数为，故答案为：804根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为_答案：模拟演示：解：，；，；，；，此时结束循坏输出故答案为：155甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为_解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为故答案为：6若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为_解：抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线方程为，则，解得，则，所以双曲线的离心率故答案为：7已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时f (x)a，a为实数，则f (4)的值是_解：是定义在上的奇函数，且时，时，故答案为：8已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，且，则的值为_解：，则，所以，即，则，所以，即设等比数列的公比为故答案为：39已知，若是偶函数，则_解：函数，所以函数，由于函数为偶函数，所以，解得，由于，所以当时，故答案为：10已知矩形ABCD中AB4，BC3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC平面BAC，则三棱锥DABC的体积是_解：过作于，平面平面，平面平面，平面，平面，故答案为11已知实数x，y满足条件xy14xy且x1，则(x1)(y2)的最小值是_解：，且，解得，取最小值为27故答案为：2712若直线上存在相距为2的两个动点A，B，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为_解：根据题意，若为等腰直角三角形，其中为直角顶点且，则到的距离为，若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离，即有，解可得：，即的取值范围，；故答案为：，13如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是_解：由中线长公式可得，则，则在中，即所以（当且仅当时取等）14已知函数，若不等式恒成立，为奇函数，函数恰有两个零点，则实数的取值范围为_解：若不等式恒成立，即恒成立，则，解得：，故，若为奇函数，则，解得：，故，画出函数，的图象，如图所示：若函数恰有两个零点，结合图象：，故答案为：，二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）已知分别为三个内角A，B，C的对边，且（1）若，求边的长；（2）若，求的值解：（1）在中，由可知，由解得，由余弦定理得，得，即，解得（2）由且，得，又，则，则，所以，所以，所以16（本小题满分14分）EDB1A1C1CBA如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E求证：（1）DE平面B1BCC1；（2）平面A1BC平面A1ACC1证明：（1）直三棱柱ABCA1B1C1中， 所以四边形是平行四边形，且，所以为中点，同理为中点，所以，又因为平面，平面，所以（2）直三棱柱ABCA1B1C1中，平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面17（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左、右顶点分别为已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率（1）求椭圆C的方程；BxyOPAMNl（2）设P是椭圆C上异于A、B的点，与轴垂直的直线分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值解：（1）因为，所以，即，又点在椭圆上，故，即，又，联立方程组，解得，故椭圆方程为（2）设P点坐标为（），M,N的横坐标均为，则直线AP的方程为，故，故直线BM的斜率，同理可得直线AN的斜率，故，又因为P点在椭圆上，故有，即，因此有，故直线AN与直线BM的斜率之积是定值18（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile；（1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离；ClBAD东北ClBAD东北（第18题图）（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围ClBAD东北（第18题图）解：（1）在三角形ABC中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去），过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，ClBAD东北（第18题图）xyOCD=BC，故暗礁中心点C到海岸线l的距离为n mile（2）由（1）可知,，以点C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A（，），D（，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为，假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则，则点T满足方程，化简得要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，只需要圆与圆外离，故，整理得135，解得或（舍去）答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile；（2）当时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功19（本小题满分16分）已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点，其中若，求函数在处的切线方程；若对，恒成立，求实数的取值范围解：（1），所以，令 得到，所以的单调增区间是（2）由方程得是方程的两实根，故，且由判别式得，若，得，故，得，因此，故函数在处的切线方程为若对任意的，都有成立，所以，因为，所以，当时，对有，所以，解得，又因为，得，则有；当时，则存在的极大值点，且，由题意得，将代入得，进而得到，得，又因为，得，综上可知的取值范围是或20（本小题满分16分）等差数列an公差大于零，且a2a3，a22a32，记an的前n项和为Sn，等比数列bn各项均为正数，公比为q，记bn的前n项和为Tn（1）求Sn；（2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3kS2，S5，S6，求数列bn的通项公式；（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列cn，求cn的一个通项公式解：（1）设an公差为d，d0，因为a2a3，a22a32，所以a1da12d，(a1d)2(a12d)2，解得a1，d，于是Snn（2）S2，S5，S6，当q1时，Tkkb1，T3k3kb1，3，舍去；当q1时，Tk，T3k，所以1qkq2k，因为qN*且q1，所以q2，因此1247，于是Tk，T3k，因此1qkq2k7，解得qk2或3（舍去），从而q2，k1，代入Tk得b1所以bn