江苏省南师大附校2020高三数学一轮复习教学案：第13课时抽象函数

第13课时 抽象函数1. 已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.14.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;(3)设A=,B=,若=,试确定的取值范围.16.已知函数是定义在R上的增函数,设F.(1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.18函数对于x0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2020，2020上的根的个数，并证明你的结论20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。 答案：1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而15. (1)证明:令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明: 任取,则,0,故0是R上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为N(),则,故把代入F得, =-函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.(1)解:为R上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为R上的奇函数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)证明：令，则，故（2），令，则， 成立的x的取值范围是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2020上有402个解,在-2020.0上有400个解,所以函数在-2020,2020上有802个解.20. 解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f