江苏省海安县2020届高三数学上学期第一次学业质量测试试题（含解析）

江苏省海安县2020届高三上学期第一次学业质量测试数学试题一、填空题：1. 已知集合，则_.【答案】【解析】由交集的定义，应填答案。2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的模为_.【答案】【解析】试题分析：考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为_.【答案】【解析】由题意正方形外接圆的半径是，其面积，正方形的面积是故由古典概型的计算公式可得，应填答案。4. 某校高一年级共有800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于80分的学生人数为_.【答案】240【解析】由题设中提供的频率分布直方图可以看出：不低于分的学生人数为，应填答案。5. 如图，是一个算法的流程图，则输出的的值为_.【答案】16【解析】由题意当时，由于，运算程序继续；，此时，运算程序结束，输出，应填答案。6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】由题意，所以，应填答案。7. 已知正三棱锥的体积为，高为，则底面边长为_.【答案】【解析】设正三棱锥的底面边长为，则其面积为，由题意，解之得，应填答案。8. 已知，则的值为_.【答案】【解析】因为，所以，则，应填答案。9. 关于的不等式的解集，则的值为_.【答案】5【解析】由题意可得，解之得，应填答案。10. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则的值为_.【答案】【解析】由题意，则，应填答案。11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题，所以结合图像可知：当时，函数的图像连续且能取遍所有实数，即的值域是，故实数的取值范围是，应填答案。12. 在平面直角坐标系中，分别过点，的直线，满足：，且，被圆：截得的弦长相等，则直线的斜率的取值集合为_.【答案】【解析】设直线，即，圆心到直线的距离；由题设直线，即，圆心到直线的距离，由于圆的半径相等，所以，即，解之得，应填答案。.13. 在中，已知，若的面积，则的值为_.【答案】【解析】由题意，即，也即，解之得（舍去），所以，设的边上的高为，则，所以，所以的面积为，应填答案。点睛：解答本题的关键是依据题设条件构建方程，即，进而借助三角形的三内角之和为得到，从而算得的边上的高，求出的面积为。14. 已知，且，则的最小值为_.【答案】27【解析】由题意代入可得，令，解之得：，所以当时，应填答案。点睛：解答本题的思路是运用消元思想，将二元函数转化为一元函数，进而借助导数知识求出导函数的零点（极值点）也就是最值点，然后将其代入函数的解析式中得到其最小值。求解本题时容易受思维定式的影响，从基本不等式的求最值的方向出发，从而陷入困境和误区。二、解答题15. 已知向量，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值【答案】(1) ;(2) 当时，取到最大值3；当时，取到最小值.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：解：（1）因为，所以.若，则，与矛盾，故.于是.又，所以.（2）.因为，所以，从而.于是当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.16. 如图，在直三棱柱中，点分别在棱上（均异于端点），且，（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.【答案】(1)见解析过程;(2)见解析过程.【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明平面，再借助面面垂直的判定定理进行推证；（2）先探寻求证面外的线与面内的线平行，再运用线面平行的判定定理进行推证：证明：（1）直三棱柱中，平面，因为平面，所以.又，平面，所以平面又平面，所以平面平面.（2）因为，由（1）同理可得平面.又由（1）知，平面，所以.又平面，平面，所以平面.17. 如图，已知是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在正前方36m处有一建筑物，从楼顶处测得建筑物的张角为.（1）求建筑物的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？【答案】(1)30米;(2) 当时，张角最大，拍摄效果最佳.【解析】试题分析：（1）先作于，构造直角三角形，然后运用两角差的正切公式求出，再求出；（2）先依据题设求出，然后建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解：解：（1）如图，作于，则.所以，.因为，所以.所以.答：建筑物的高度为30米.（2）设在第层处拍摄效果最佳，则摄影高度为米（如图）（）.作于，则，.，（当时取等号）.因为函数在上是单调增函数，所以当时，张角最大，拍摄效果最佳.答：该人在6层拍摄时效果最好.18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 的左顶点为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，是圆：的直径（点在轴上方），交椭圆于点，设与的面积分别为，求.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）依据题设及椭圆基本量之间的关系，求出（2）借助（1）的结论及已知条件建立直线的方程然后与椭圆方程联立方程组求出交点坐标，最后再探求的值：解:(1)由条件，所以，从而，所以椭圆的方程是.(2)由(1)知，圆的方程为，因为，设，则，所以，从而直线的斜率为.因为是圆的直径，所以，从而直线的斜率为，所以直线的方程为.联立方程组得，解得，即.联立方程组得，解得，即.所以.19. 已知函数，其中，是自然对数的底数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调减区间；（3）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) ;(2) 当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；当时，的单调减区间是;(3) .【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。解：(1)因为，所以.因为，所以.所以切线方程为.(2) 因为，当时，所以无单调减区间.当即时，列表如下：所以的单调减区间是.当即时，列表如下：所以的单调减区间是.综上，当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；当时，的单调减区间是.(3).当时，由(2)可得，为上单调增函数，所以在区间上的最大值，符合题意.当时，由(2)可得，要使在区间上恒成立，只需，解得.当时，可得，.设，则，列表如下：所以，可得恒成立，所以.当时，可得，无解.综上，的取值范围是.20. 设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：为定值；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【答案】(1) ;(2) ;(3) 数列中不存在三项成等差数列.【解析】试题分析：（1）依据题设探求出，再运用等比数列的定义进行推证；（2）借助等比数列的前项和公式分别求出，然后再求其比值；（3）假设存在满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的三项：解：（1）当时，解得.当时，即.因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，从而，所以.（3）假设中存在第项成等差数列，则，即.因为，且，所以.因为，所以，故矛盾，所以数列中不存在三项成等差数列.点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能力和推理论证能力。21. 【选做题】A.选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交的延长线于点.求证：平分.B.选修4-2：矩阵与变换已知变换：，试写出变换对应的矩阵，并求出其逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线相交于两点，求线段的长.D.选修4-5：不等式选讲设均为正数，且，求证：.【答案】A.见解析【解析】试题分析：借助题设条件设法证明：证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以.因为，所以.又，所以，即平分.B.选修4-2：矩阵与变换已知变换：，试写出变换对应的矩阵，并求出其逆矩阵.【答案】试题分析：先求矩阵，再运用待定系数法探求逆矩阵：解：由，得.设，则，即，所以，解得，所以.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线相交于两点，求线段的长.【答案】8试题分析：先消去参数求出直线与抛物线的普通方程，再将直线的方程与抛物线方程联立求出交点坐标，进而求出弦长：解：由消去参数，得，由消去参数，得.联立方程组，消得，解得，.所以，所以.D.选修4-5：不等式选讲设均为正数，且，求证：.【答案】见解析试题分析：先将式子进行巧妙变形，再借助基本不等式进行推证：证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）所以.【必做题】22. 如图，在长方体中，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角所成角的正弦值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式的数量积公式进行求解；（2）先求出两个平面的法向量，然后再运用空间向量的坐标形式的数量积公式进行求解：解：在长方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系，(1)因为，所以，所以，.从而，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）在长方体中，平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以.所以，.从而，所以二面角所成角的正弦值为.点睛：空间向量是解决角度与距离问题的有效方法和途径之一，本题设置的两个问题分别代表了立体几何中的线线角、面面角的求解途径。这种方法就是通过建立空间坐标系，从而将这些问题转化为空间向量的运算问题，从而使得这类问题的求解有章可循，有法可依。23. 某厂每日生产一种大型产品1件，每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为，二等品的概率为，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来1000元的损失.（1）求在连续生产3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品的的概率；（2）已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品，求另一件也为一等品的