江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）

江西省上饶市横峰中学、铅山一中、余干一中2020届高三上学期第一次联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足是虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求【详解】解：设，由，得，即，解得，复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知全集，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】阴影部分用集合表示为，只要求出M、N进行集合的运算即可【详解】解：图中阴影部分表示的集合，由，则，则故选：C【点睛】正确理解集合M、N所表达的含义，以及正确理解韦恩图所表达的集合是解决本题的关键3.设等差数列的前项和为，点在直线上，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】点在直线上，所以.故选B.4.设则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：a=ln20，ln31，即ba又bc综上可知：abc考点：对数值大小的比较5.为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从4名男教师和5名女教师中,选取3人,组成创文明志愿者小组,若男、女至少各有一人,则不同的选法共有A. 140种 B. 70种C. 35种 D. 84种【答案】B【解析】分两类：（1）2男1女，有种；（2）1男2女，有种，所以共有+种，故选B点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”6.已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：结合题意设出的坐标，求出的坐标，从而求出的模即可详解：平面向量的夹角为，且，不妨设=（1，0），=（，），则=（，），故| |=1，故选：A点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.7.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由算法流程图所提供的算法程序可知：当时，运算程序结束，所以当时运算程序不再继续，故应填，应选答案A。8.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为A. B. 4 C. 6 D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，即可得出结论【详解】由三视图解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，根据几何体可以判断：该四棱锥的最长棱为AO，故选：C【点睛】本题考查由三视图求棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题9.若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数，的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，利用线性规划的知识即可得到结论【详解】实数x，y满足不等式组的可行域如图：目标函数；的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，目标函数的最大值转化为的最小值，由图形可知最优解为，所以目标函数的最大值是：故选：B【点睛】此题考查了简单的线性规划，考查交集及其运算，体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题10.已知的最大值为A，若存在实数、，使得对任意实数x总有成立，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍【详解】解：依题意,，的最小值为，故选：C【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题11.已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】分析：利用几何法先分析出的坐标，代入方程即可。详解：由图像，利用几何关系解得，因为，利用向量的坐标解得，点在双曲线上，故，故解C点睛：利用几何中的线量关系，建立的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算。12.在正方体中，边长为，面与面的重心分别为E、F，求正方体外接球被EF所在直线截的弦长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，求出球心O到EF中点的距离，再求出多面体外接球的半径，由勾股定理求解【详解】解：如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则0，、0，、，点O到直线EF的距离，而球O的半径为，因此，正方体外接球被EF所在直线截的弦长为：故选：D【点睛】本题考查多面体及其外接球的关系，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a，b为正实数，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知可得，利用基本不等式即可求解【详解】解：，且，则，当且仅当且，即，时取得最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键14.等差数列的前项和为，则_.【答案】【解析】等差数列的前项和为，可得，数列的首项为1，公差为1，则，故答案为.15.已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出P的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可【详解】解：依据对称性，不妨设直径AB在x轴上，x，从而故答案为：2方法二：，而，则答案为2故答案为：2【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质考查转化思想以及计算能力16.已知的三边分别为，所对的角分别为，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为_【答案】【解析】由的三边分别为，可得：，可知：，可知可知当时，则的最大值的取值范围为点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度。三、解答题（本大题共7小题）17.已知等差数列中，且前10项和（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】(1)an2n1(2)Tn【解析】【分析】(1)本题首先可以对化简得到，再对化简得到，最后两式联立，解出的值，得出结果；(2)可通过裂项相消法化简求出结果。【详解】(1)由已知得，解得所以的通项公式为(2)，所以数列的前项和。【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误。18.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析【解析】试题分析：（）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；（）由频率分布直方图求矩形的面积，转化求解抽取人数即可；（）先求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.试题解析：（）由题意知之间的频率为:，获得参赛资格的人数为 （）在区间与，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人分在区间与各抽取5人，2人结果是5，2.（）的可能取值为0，1，2，则故的分布列为：012 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）当时，二面角的大小为.【解析】试题分析：（1）根据题意可连接，设与交于，连接，可证，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）先假设线段上是否存在点，满足题意，根据题目中的垂直关系，利用三垂线定理作出二面角的平面角，通过解直角三角形即可求得的值.试题解析：（1）如图：连接，设与交于，连接.由已知，故四边形是平行四边形，是的中点，又因为是的中点，所以.因为平面平面所以平面.（2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.延长、交于点，过做于，连接.因为是矩形，平面平面所以平面，又平面，所以 ，平面所以，为二面角的平面角. 由题意.在中，则,所以.又在中，所以.所以在线段上存在点，使二面角的大小为,此时的长为.考点：空间中线面平行、垂直关系的证明和应用及二面角的求解.20.在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由题意可得关于的方程组，解得后可得椭圆的方程（2）设（）,由题意得，从而，故得直线的方程为与椭圆方程联立消元后解得，故在直角中，由，解得，故得点的坐标为详解：（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，所以解得所以椭圆的方程为（2）因为为椭圆的上顶点，所以设（），则.又，所以，所以直线的方程为.由消去整理得，所以，所以，在直角中，由，得，所以，解得.所以点的坐标为点睛：本题主要考查待定系数法的应用，特别是在求点的坐标的过程中更是体现了这一点另外在解答解析几何问题中，要注意平面几何图形性质的运用，利用图形中的位置关系和数量关系将问题转化为代数计算的问题处理21.已知函数在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值.【答案】（），（）【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）问题转化为k=对任意x2恒成立，设h（x）=（x2），根据函数的单调性求出k的最大值即可【详解】（1），所以且， 解得， （2）由（1）与题意知对任意的恒成立， 设，则，令，则，所以函数为上的增函数. 因为，所以函数在上有唯一零点，即有成立，所以 故当时， ，即；当时， ，即 所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以，因为，所以，又因所以最大值为【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.22.平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为()求直线的极坐标方程；(）若直线与曲线相交于两点，求【答案】()；().【解析】分析：（1）利用消参得到直线l的普通方程，利用极坐标公式得到曲线的直角坐标方程. （2）利用解三角形求弦长|AB|.详解：（1）直线的普通方程为； ，曲线的直角坐标方程为； （2）曲线 圆心到直线的距