河南省许昌市长葛一高2020届高三数学上学期开学试题 文（含解析）VIP

2020学年河南省许昌市长葛一高高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足=2+i，则|z|=（）AB41C5D252已知集合P=x|y=ln（32x），则PN的子集的个数为（）A2B4C6D83在等差数列an中，a3+a4=12，公差d=2，则a9=（）A14B15C16D174如图，在ABC中，D为线段BC的中点，E，F，G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，若+=4，则（）A点P与图中的点D重合B点P与图中的点E重合C点P与图中的点F重合D点P与图中的点G重合5F1，F2分别是双曲线C：=1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|=8，则=（）A4B3C2D26如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则（）An=4，V=10Bn=5，V=12Cn=4，V=12Dn=5，V=107已知点（a，b）是平面区域内的任意一点，则3ab的最小值为（）A3B2C1D08若sin（）=（sin+2cos），则sin2=（）ABCD9设函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）为偶函数，且在（0，1）上存在极大值，则f（x）的图象可能为（）ABCD10我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）Ai7？s=si=i+1Bi128？s=si=2iCi7？s=si=i+1Di128？s=si=2i11已知多面体ABCDFE的每个顶点都在球O的表面上，四边形ABCD为正方形，EFBD，且E，F在平面ABCD内的射影分别为B，D，若ABE的面积为2，则球O的表面积的最小值为（）A8B8C12D1212若函数f（x）=恰有4个零点，则m的取值范围为（）A，（，B（，（，（，C，），）D，），），）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为 14设椭圆C： +=1（a）的离心率为，则直线y=6x与C的其中一个交点到y轴的距离为 15若+1是公比为2的等比数列，且a1=1，则a1+= （用数字作答）16已知a0，且a1，函数f（x）=存在最小值，则f（2a）的取值范围为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知acsinB=4sinA，且cosA=（1）求ABC的面积；（2）若a=，求ABC的周长18如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PBAB（1）证明：平面PBC平面PCD；（2）若PB=AB=BC=4，平面PAB平面ABCD，求三棱锥APBD与三棱锥PBCD的表面积之差19共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表： 租用单车数量x（千辆）2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元）3.2 2.4 21.9 1.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：（1）=+1.1，方程乙：（2）=+1.6（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到0.1）（备注： =yi，称为相应于点（xi，yi）的残差（也叫随机误差）； 租用单车数量x（千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值（1） 2.4 2.1 1.6 残差（1） 00.1 0.1模型乙 估计值（2） 2.3 21.9 残差（2） 0.1 0 0 分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入8.4元；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入7.6元问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入成本）20如图，已知抛物线C：x2=2py（p0），圆Q：x2+（y3）2=8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P1，P2两点，且|P1P2|=4（1）证明：抛物线C与圆Q相切；（2）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，且直线l的斜率k（0，1），求的取值范围21已知函数f（x）=axlnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=x1（1）若f（x）在（b，m）上有最小值，求m的取值范围；（2）当x，e时，若关于x的不等式2f（x）+g（x）0有解，求k的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为=2cos+2sin（02），点M（1，），以极点O为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系已知直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，且|MA|MB|（1）若P（，）为曲线C上任意一点，求的最大值，并求此时点P的极坐标；（2）求选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x2|（1）求不等式f（x）5|x1|的解集；（2）若函数g（x）=f（2x）a的图象在（，+）上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围2020学年河南省许昌市长葛一高高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足=2+i，则|z|=（）AB41C5D25【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由模的计算公式求解【解答】解：由=2+i，得z=（2+i）2=3+4i，|z|=故选：C2已知集合P=x|y=ln（32x），则PN的子集的个数为（）A2B4C6D8【考点】16：子集与真子集【分析】根据对数函数的性质求出P的范围，求出P，N的交集，得到其子集的个数即可【解答】解：由32x0，解得：x，故PN=0，1，故子集的个数是4个，故选：B3在等差数列an中，a3+a4=12，公差d=2，则a9=（）A14B15C16D17【考点】84：等差数列的通项公式【分析】运用等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由通项公式计算可得所求值【解答】解：在等差数列an中，a3+a4=12，公差d=2，可得2a1+5d=12，即有2a1=1252=2，即a1=1，则a9=a1+8d=1+16=17故选：D4如图，在ABC中，D为线段BC的中点，E，F，G依次为线段AD从上至下的3个四等分点，若+=4，则（）A点P与图中的点D重合B点P与图中的点E重合C点P与图中的点F重合D点P与图中的点G重合【考点】9L：线段的定比分点【分析】推导出， =2，从而，由此得到点P与图中的点F重合【解答】解：在ABC中，D为线段BC的中点，E，F，G依次为线段AD从上至下的3个四等分点， =2，点P与图中的点F重合故选：C5F1，F2分别是双曲线C：=1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF1|=8，则=（）A4B3C2D2【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，即可得|F1F2|的值；进而由双曲线的定义可得|PF1|PF2|=2a=6，由|PF1|的值，可得|PF2|的值，将|F1F2|、|PF2|的值代入中计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为：=1，其中a=3，b=，则c=4，则|F1F2|=2c=8，P为双曲线C右支上一点，则有|PF1|PF2|=2a=6，又由|PF1|=8，则|PF2|=86=2，则=4；故选：A6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则（）An=4，V=10Bn=5，V=12Cn=4，V=12Dn=5，V=10【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，然后由棱柱体积公式求解【解答】解：由三视图可知，该几何体为直五棱柱，如图：故n=5，且V=故选：D7已知点（a，b）是平面区域内的任意一点，则3ab的最小值为（）A3B2C1D0【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：点（a，b）是平面区域内的任意一点，由z=3ab得b=3az，平移直线y=3xz由图象可知当直线y=3xz经过点A时，直线y=3xz的截距最大，此时z最小由，解得A（0，2），此时z=302=2，故选：B8若sin（）=（sin+2cos），则sin2=（）ABCD【考点】GS：二倍角的正弦【分析】利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得tan，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得sin2的值【解答】解：sin（）=（sin+2cos），即sin+cos=（sin+2cos），即tan=3，则sin2=，故选：C9设函数f（x）的导函数为f（x），若f（x）为偶函数，且在（0，1）上存在极大值，则f（x）的图象可能为（）ABCD【考点】3O：函数的图象；6A：函数的单调性与导数的关系【分析】根据题意，由f（x）为偶函数，分析可得其导数f（x）为奇函数，又由函数在（0，1）上存在极大值，则其导数图象在（0，1）上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，若f（x）为偶函数，则其导数f（x）为奇函数，分析选项：可以排除B、D，又由函数f（x）在（0，1）上存在极大值，则其导数图象在（0，1）上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，分析选项：可以排除A，C符合；故选：C10我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）Ai7？s=si=i+1Bi128？s=si=2iCi7？s=si=i+1Di128？s=si=2i【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=1，i=4，第2次循环：S=1，i=8，第3次循环：S=1，i=16，依此类推，第7次循环：S=1，i=256，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i128？，执行框应填入：s=s，应填入：i=2i故选：B11已知多面体ABCDFE的每个顶点都在球O的表面上，四边形ABCD为正方形，EFBD，且E，F在平面ABCD内的射影分别为B，D，若ABE的面积为2，则球O的表面积的最小值为（）A8B8C12D12【考点】LG：球的体积和表面积【分析】由题意求出AB、BE的长，然后把多面体补形为长方体，写出其外接球的表面积，利用基本不等式求最值【解答】解：设AB=a，BE=b，则ABE的面积为，ab=4，多面体EFABCD可以通过补形为长方体，如图所示：则球O即为该长方体的外接球，其表面积为=故选：A12若函数f（x）=恰有4个零点，则m的取值范围为（）A，（，B（，（，（，C，），）D，），），）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】设g（x）=sin（2x），h（x）=cos（2x），作出这两个函数在，上的图象，求出零点，通过图象即可得到所求m的范围【解答】解：设g（x）=sin（2x），h（x）=cos（2x），作出这两个函数在，上的图象，如图所示：g（x）在，上的零点为，；h（x）在，上的零点为，f（x）恰有4个零点，由图象可得m（，（，（，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】设2组青年组的编号分别为1，2，2组中年组的编号分别为3，4，2组老年组的编号分别为5，6，利用列举法求出从中两组所有的情况有15种，其中不含青年组的有6种，由此能求出这2组不含青年组的概率【解答】解：设2组青年组的编号分别为1，2，2组中年组的编号分别为3，4，2组老年组的编号分别为5，6，则从中两组所有的情况有15种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），其中不含青年组的有6种，故所求概率为：p=故答案为：14设椭圆C： +=1（a）的离心率为，则直线y=6x与C的其中一个交点到y轴的距离为【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】根据题意，由椭圆的方程可得c的值，结合椭圆的离心率公式可得e=，解可得a的值，就可得椭圆的方程，联立直线与椭圆的方程解可得交点的横坐标，即可得答案【解答】解：根据题意，椭圆C的方程为： +=1（a），其中c=，又由椭圆的离心率为，则有e=，解可得a=2；则椭圆的方程为： +=1，联立直线与椭圆的方程：，解可得x=，则直线y=6x与C的其中一个交点到y轴的距离为；故答案为：15若+1是公比为2的等比数列，且a1=1，则a1+=1013（用数字作答）【考点】8E：数列的求和【分析】推导出数列+1是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出（a1+1）+（+1）+（+1）+（+1）的值，进而能求出a1+的值【解答】解：+1是公比为2的等比数列，且a1=1，数列+1是首项为2，公比为2的等比数列，（a1+1）+（+1）+（+1）+（+1）=2102=1022，a1+=10229=1013故答案为：101316已知a0，且a1，函数f（x）=存在最小值，则f（2a）的取值范围为3，+）【考点】3H：函数的最值及其几何意义【分析】讨论当x2时，运用二次函数的最值求法，可得最小值；再由当x2时，讨论0a1，a1，由单调性，结合题意，可得1+loga22，解方程可得a的范围，结合对数函数的单调性，计算即可得到所求范围【解答】解：当x2时，f（x）=x22x+3=（x1）2+2，当且仅当x=1时，f（x）取得最小值2；当x2时，若0a1，则f（x）1+loga22，显然不满足题意；若a1，要使f（x）存在最小值，必有1+loga22，解得1a2即22a4，f（2a）=1+loga（2a）=2+loga2=2+，由0log2a1，可得1，可得f（2a）3，故答案为：3，+）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知acsinB=4sinA，且cosA=（1）求ABC的面积；（2）若a=，求ABC的周长【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）利用正弦定理求出bc，根据cosA=求出sinA，可得ABC的面积；（2）a=，利用余弦定理求出b+c，可得ABC的周长【解答】解：（1）已知acsinB=4sinA，由正弦定理，得abc=4a，bc=4cosA=sinA=ABC的面积：S=bcsinA=（2）a=，cosA=bc=4由余弦定理：cosA=（b+c）2=25即b+c=5故得ABC的周长为：a+c+b=5+18如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PBAB（1）证明：平面PBC平面PCD；（2）若PB=AB=BC=4，平面PAB平面ABCD，求三棱锥APBD与三棱锥PBCD的表面积之差【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）由已知四边形ABCD为矩形，得ABBC，然后结合已知可得AB平面PBC，进一步得到CD平面PBC，再由面面垂直的判定可得平面PBC平面PCD；（2）由已知分别说明三角形PAD、PBC、PCD、PAB为直角三角形并求出面积，再由ABD与BCD的面积相等，且三棱锥PBCD与三棱锥APBD的公共面为PBD，即可求得三棱锥APBD与三棱锥PBCD的表面积之差【解答】（1）证明：由已知四边形ABCD为矩形，得ABBC，PBAB，PBBC=B，AB平面PBC，又CDAB，CD平面PBC，CD平面PCD，平面PBC平面PCD；（2）解：平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，ADAB，AD平面PAB，则ADPA，又ADBC，BC平面PAB，则BCPB，又CD平面PBC，CDPC，又PBAB，则而ABD与BCD的面积相等，且三棱锥PBCD与三棱锥APBD的公共面为PBD三棱锥APBD与三棱锥PBCD的表面积之差为19共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表： 租用单车数量x（千辆）2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元）3.2 2.4 21.9 1.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：（1）=+1.1，方程乙：（2）=+1.6（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到0.1）（备注： =yi，称为相应于点（xi，yi）的残差（也叫随机误差）； 租用单车数量x（千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值（1） 2.4 2.1 1.6 残差（1） 00.1 0.1模型乙 估计值（2） 2.3 21.9 残差（2） 0.1 0 0 分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入8.4元；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入7.6元问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入成本）【考点】BK：线性回归方程【分析】（1）通过计算填写表中数据即可；计算模型甲、乙的残差平方，比较即可得出结论；（2）计算该城市投放共享单车为8千辆和1万辆时，该公司一天获得的总利润是多少，比较得出结论【解答】解：（1）经计算，可得下表（计算结果精确到0.1）； 租用单车数量x（千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值（1）3.1 2.4 2.11.9 1.6 残差（1）0.1 00.1 0 0.1模型乙 估计值（2）3.2 2.3 21.9 1.7 残差（2）0 0.1 0 0 0计算模型甲的残差平方Q1=0.12+（0.1）2+0.12=0.03，模型乙的残差平方Q2=0.12=0.01；Q1Q2，故模型乙的拟合效果更好；（2）若该城市投放共享单车为8千辆时，则该公司一天获得的总利润为（8.41.7）8000=53600（元）；若投放共享单车为1万辆时，则每辆车的成本为+1.6=1.664（元），所以该公司一天获得的总利润为（7.61.664）10000=59360（元）；由5936053600，投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆20如图，已知抛物线C：x2=2py（p0），圆Q：x2+（y3）2=8，过抛物线C的焦点F且与x轴平行的直线与C交于P1，P2两点，且|P1P2|=4（1）证明：抛物线C与圆Q相切；（2）直线l过F且与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，且直线l的斜率k（0，1），求的取值范围【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】（1）求出抛物线的焦点，可得P1P2|=2p=4，可得抛物线的方程，联立抛物线的方程和圆的方程，消去x，由判别式为0，即可得证；（2）求出F的坐标和直线l的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式可得|AB|，再联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得|MN|，求出关于t的关系式，运用换元法和导数，结合单调性，即可得到所求范围【解答】解：（1）证明：抛物线C：x2=2py（p0）的焦点F（0，），令y=，可得|P1P2|=2p=4，解得p=2，即有抛物线C的方程为x2=4y，联立x2=4y和x2+（y3）2=8，消去x，可得y22y+1=0，由判别式为44=0，可得抛物线C与圆Q相切；（2）由（1）可得F（0，1），直线l的方程为y=kx+1，k（0，1），圆心Q（0，3）到直线l的距离为d=，可得|AB|=2=4；设M（x1，y1），N（x2，y2），由x2=4y和y=kx+1，可得y2（4k2+2）y+1=0，则y1+y2=2+4k2，|MN|=y1+y2+2=4（4k2+1），则=，0k1，设t=（，1），则=t=，设f（t）=2t2t3（t1），f（t）=4t3t2，由t1，可得f（t）0，即有f（t）在（，1）递增，则f（t）（f（），f（1），即为f（t）1，可得的取值范围为（，1）21已知函数f（x）=axlnx+b，g（x）=x2+kx+3，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=x1（1）若f（x）在（b，m）上有最小值，求m的取值范围；（2）当x，e时，若关于x的不等式2f（x）+g（x）0有解，求k的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，求出m的范围即可；（2）问题等价于不等式k在x，e上有解，设h（x）=，x，e，根据函数的单调性求出k的范围即可【解答】解：（1）f（x）=a（lnx+1），由题意得，解得：，故f（x）=lnx+1，当f（x）0，即x时，f（x）递增，当f（x）0，即0x时，f（x）递减，f（x）在（0，m）上有最小值，m的范围是（，+）；（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）0在x，e有解等价于不等式k在x，e上有解，设h（x）=，x，e，h（x）=，当h（x）0即x1时，h（x）