河北省武邑中学2020届高三数学上学期第二次调研考试试题 文（含解析）

河北省武邑中学2020届高三上学期第二次调研考试数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设是虚数单位，则(A. iB. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】把复数z代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【详解】解：是虚数单位，则，故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题2.以下判断正确的是（ ）A. 函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B. 命题“”的否定是“”C. “”是“函数是偶函数”的充要条件D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题【答案】C【解析】对于，函数为上可导函数，则是为函数极值点的必要不充分条件，如，满足，但不是函数的极值点，故错误；对于，命题“”的否定是“”，故错误；对于，若，则，函数为偶函数,反之，若函数是偶函数，则，即，“”， 是“函数是偶函数”，的充要条件，故正确；对于，在中，若“，则，” 的逆命题为“若，则”，由正弦定理可知，在中，逆命题为真命题，故错误，故选C.3.下列函数中，在上单调递增，并且是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：四个函数中，是偶函数的有，又在内单调递增，故选C考点：函数的单调性与奇偶性.4.已知函数，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数，的零点分别为，即，根据函数图象可得，故选A5.在同一坐标系内，函数和的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论，利用函数的单调性，筛选排除即可得结果【详解】若 在递增，排除选项，递增，排除；纵轴上截距为正数，排除，即时，不合题意；若，在递减，可排除选项，由递减可排除，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.已知等差数列an的前n项和为Sn，a8=1，S16=0，当Sn取最大值时n的值（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】试题分析：设公差为，当时，即，故当取最大值时的值为，故选：B考点：等差数列的前项和.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可得：故选8.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，平面，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OS为球半径，由此可得该三棱锥的外接球的体积.【详解】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以S在ABC上的射影为AB中点H，所以平面，所以SH上任意一点到A,B,C的距离相等，因为，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为的外接球球心，所以，即，解得，所以该三棱锥的外接球的体积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意思考球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.9.函数的单调减区间是A. B. C. ，D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间【详解】解：，令，解得：，故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题10.函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题11.已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：函数是定义在上的奇函数，关于原点对称，由函数的图象向左平移一个单位得到函数的图象，则函数的图象关于点对称；又对于任意的且，满足不等式可知，函数在上单调递增，结合图象可知，得，则，故选D考点：函数的性质.12.函数，若方程有且只有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题知为分段函数，当时，由可知为周期函数；当x大于等于0时函数为增函数，而方程有且只有两个不相等的实数根即与由两个交点，在同一坐标系中画出函数的图象与函数的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围【详解】解：函数的图象如图所示，作出直线l：，向左平移直线l观察可得函数的图象与函数的图象有两个交点，即方程有且只有两个不相等的实数根，即有，故选：C【点睛】本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题p：，则是_【答案】，【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，即将条件中“任意”改“存在”，结论中“”改“”即可【详解】解：命题p：，则是：，故答案为：，【点睛】本题考查了全称命题的否定，“”改“”特称命题的否定为“”改“”，且不能与命题的否命题混淆14.设F1，F2是双曲线C，(a0,b0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使PF1PF2，且PF1F2=30，则C的离心率为_.【答案】；【解析】设点P在双曲线右支上,由题意,在RtF1PF2中,|F1F2|=2c,PF1F2=30,得|PF2|=c,|PF1|=c,根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a,(-1)c=2a,e=+1.【此处有视频，请去附件查看】15.函数，的最小值为_【答案】【解析】【分析】可令，由，可得，即有在递增，计算可得所求最小值【详解】解：函数，令，由，可得，则，可得在递增，可得函数y的最小值为故答案为：【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力和变形能力，属于基础题16.若两个等差数列和的前n项和分别是，已知，则_【答案】4【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出【详解】解：由等差数列的性质可得：故答案为：4【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题）17.记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18.某单位员工人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第组，第组,第组,第组,第组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数的值；区间人数（2）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，年龄在第组抽取的员工的人数分别是多少？（3）在（2）的前提下，从这人中随机抽取人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第组的概率.【答案】（1），（2）人，人，人. （3）【解析】(I)由题意可知,.(II)根据各层在总体当中的占比与在样本中的占比相等，求出年龄在第1,2,3组的人数. 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为， 第2组的人数为，第3组的人数为， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人6分(III) 设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有1种可能.所以至少有1人年龄在第3组的概率为.设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有： 共种可能 10分其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能， 11分所以至少有1人年龄在第3组的概率为 12分19.一缉私艇发现在北偏东方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以的速度沿东偏南方向逃窜缉私艇的速度为，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值【答案】所需时间2小时，【解析】【分析】由图A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有，从而在中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求角的正弦值【详解】解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有，所以所需时间2小时，【点睛】本题考查正余弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题20.已知定点，动点P是圆M：上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q求的值，并求动点Q的轨迹C的方程；若圆的切线l与曲线C相交于A，B两点，求面积的最大值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】推导出为定值根据椭圆定义得动点Q的轨迹是以点M、N为焦点的椭圆且，即，由此能求出点Q的轨迹C的方程设切线方程为，由直线与圆相切，得由，得：，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的面积最大值【详解】解：由已知条件得，又，为定值根据椭圆定义得动点Q的轨迹是以点M、N为焦点的椭圆且，即，点Q的轨迹C的方程为：直线l不可能与x轴平行，则可设切线方程为，由直线与圆相切，得，设，由，消去x得：，当且仅当，即时等号成立此时，又，时，的面积最大，最大值为3【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查圆、椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21.设f(x)=xln xax2+(2a1)x，aR.（）令g(x)=f(x)，求g(x)的单调区间；（）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.【答案】（）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （）【解析】试题分析：（）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.（）分以下情况讨论：当时，当时，当时，当时，综合即得.试题解析：（）由可得，则，当时，时，函数单调递增；当时，时，函数单调递增，时，函数单调递减.所以当时，单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.（）由（）知，.当时，单调递减.所以当时，单调递减.当时，单调递增.所以在x=1处取得极小值，不合题意.当时，由()知在内单调递增，可得当当时，时，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意.当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意.当时，即，当时，单调递增,当时，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点 作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用cos=x，sin=y，即可普通方程；（）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果【详解】（）由得：，即，C的直角坐标方程为：（）设A，B两点对应的参数分别为，直线和圆的方程联立得：，所以，所以，【点睛】本题考查直线的参数方程、以及极