湖南省邵阳市2020届高三数学下学期第二次联考试题 文（含解析）

湖南省邵阳市2020届高三数学下学期第二次联考试题 文（含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得， ,故选C.2. 复数的实部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得，其实部为2，故选D.3. 假设有两个分类变量和的列联表为:总计 总计 对同一样本,以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得，当与相差越大，X与Y有关系的可能性最大，分析四组选项，A中的a,c的值最符合题意，故选A.4. “”是“函数在区间无零点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在区间无零点，则故选A.5. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.6. 执行如图的程序框图,若输入的值为 ,则输出的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得, 程序结束，故选B.7. 已知，曲线在点处的切线的斜率为，则当取最小值时的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得,，则当时，取最小值为4，故选A.8. 若实数满足不等式组，且的最大值为 ，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】实数x，y满足不等式组，可行域如下图：的最大值为5，由可行域可知z=3x+2y+2-3a，经过A时，z取得最大值，由 ，可得A（1，3）可得3+6+2-3a=5，解得a=2，故选C.9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体和一个三棱柱，则其的体积 ,故选C.10. 若，则实数的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得， ，故选A.11. 已知在区间 内任取一个为，则不等式的概率为（ )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意， 且，或且，解得1x2或 ，原不等式的解集为则所求概率为故选：B【点睛】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，对对数函数定义域和单调性的理解和掌握，是解决本题的关键，属于基础题，容易疏忽的是对数中真数大于零，正确求出不等式的解集是关键.12. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 .若，则等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意：M（x0，22）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，由抛物线的性质可知,， ，则，被直线截得的弦长为3|MA|，则，由，在RtMDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得： ，由，解得：x0=2，p=2， ，故选：B【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若，则_【答案】【解析】由题意可得， ，故答案为-1.14. 已知双曲线的左、右端点分别为，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .15. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角，所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为.若，则用“三斜求积”公式求得的面积为_【答案】【解析】由正弦定理得，由得，则由得，则 .16. 在长方体中,底面是边长为的正方形, ,是的中点,过作平面与平面交于点,则与平面所成角的正切值为_【答案】【解析】连结AC、BD，交于点O， 四边形ABCD是正方形，AA1底面ABCD，BD平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F平面BDE，F平面ABB1A1，FAA1，CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，C1A1FEAO，则 ，A1C1=2AO=2AB=2， ，AF=， CF与平面ABCD所成角的正切值为 故答案为：【点睛】本题考查线面角的正切值的求法,平面内相似三角形的应用，线面垂直性质的应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养,仔细计算即可得出正确答案.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在数列中，.（1）若数列满足，求；（2）若，且数列是等差数列.求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由，求出数列an的首项，并得到数列an是以 为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（2）由已知结合数列（2n-1）an+1是等差数列求其公差，进一步得到数列（2n-1）an+1的通项公式，代入，再由等差数列的前n项和得答案试题解析：（1），且，即数列是公比为 的等比数列.（2）设，则数列是等差数列，数列的公差为 ，即数列是首项为 ，公差为 的等差数列，.18. 某中学举行了一次“环保只知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示），解决下列问题.（1）求出的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中随机抽取 名同学到广场参加环保只是的志愿宣传活动.1）求所抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组的概率；2）求所抽取的 名同学来自同一组的概率.【答案】(1) ,;(2)1) ;2) .【解析】试题分析：（1）利用频率分布表和频率分布直方图，由题意能求出a，b，x，y的值；（2）（）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有15种情况由此能求出随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况，由此能求出随机抽取的2名同学来自同一组的概率试题解析：（1）由题意可知，样本总人数为，.（2）1）由题意可知，第 组共有 人，记为，第 组共有 人，记为.从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中抽取 名同学有，共 种情况.设“随机抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组”为事件，有共 种情况.所以.即随机抽取的 名同学中至少有 名同学来自第 组的概率是.2）设“随机抽取的 名同学来自同一组”为事件，有共 种情况.所以.即随机抽取的 名同学来自同一组的概率是.19. 在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证平面平面.【答案】(1)详见解析;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）取AB的中点F，连结EF，A1F则可通过证明平面A1EF平面BB1C1C得出A1E平面BB1C1C；（2）连结CF，则可得出CFA1C1，通过证明CF平面ABB1A1得到CFA1B即A1C1A1B，利用勾股定理的逆定理得出AA1A1B，于是A1B平面AA1C1，从而平面BEA1平面AA1C1试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.是的中位线，平面平面，平面，平面.（2）解：连接，是矩形，且，四边形是平行四边形，则.，平面，则，由（1）得是等腰三角形，又四边形是正方形，即，平面，则 平面.20. 已知右焦点为的椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为.证明：直线与轴的交点为.【答案】(1) ;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得：a=2c，又a2=3+c2，解得a2即可得出椭圆M的方程；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x-4）（k0），代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x2，-y2），直线PE的方程为： ，令y=0，可得 ，把根与系数的关系代入即可证明试题解析：（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，解得.椭圆的方程为.（2）证明：易知直线的斜率必存在，设直线的方程为，代入得，由得，.设，则，则直线的方程为.令得 ，直线过定点，又的右焦点为，直线与轴的交点为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、注意运用椭圆的定义，考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，化简很复杂易出错，属于难题.21. 已知，其中是自然常数，.（1）当时，求的极值，并证明恒成立；（2）是否存在实数，使的最小值为 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的极小值，令，求出h（x）的最大值，从而证出结论即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，求出a的值即可试题解析：（1）证明：，.当时，此时单调递减；当时，此时单调递增.的极小值为.即在上的最小值为 .令，当时，在上单调递增，恒成立.（2）假设存在实数，使有最小值 ，.当时，在上单调递减，（舍去），时，不存在使的最小值为3.当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件.当时，在上单调递减，（舍去），时，不存在使的最小值为 .综上，存在实数，使得当时，有最小值 .【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，涉及到不等式恒成立的证明和探索是否存在实数a,使有最小值，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用分类讨论思想进行解题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点.（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）求出圆的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出。试题解析：（1）对应的直角坐标分别为，则过的圆的普通方程为，又因为，代入可求得经过的圆的极坐标方程为。（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得。考点：1.圆的参数方程；2.简单曲线的极坐标方程。23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若关