福建省罗源第一中学2020届高三数学5月校考试题 文

罗源一中2020届高三5月校考 数学(文) 科试卷完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。1已知集合，则=（ ）A B C D2.已知（是虚数单位），则复数的共轭复数的模为（ ）A. B. C. D.3已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（ ） A. B. C. D. 4.世界数学史简编的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D5. 已知数列的前项和，则数列的前6项和为（ ）A B C. D6已知实数满足则的最大值为（ ）A. 1B. 11C. 13D. 177已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，则（ ）A0 B C D8将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为( )A B C D9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 10更相减损术是出自中国古代数学专著九章算术的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”下图是该算法的程序框图，如果输入， ，则输出的值是( )A. 68 B. 17 C. 34 D. 3611已知分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在点，使，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 12设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四个命题：三棱锥的体积为定值； 异面直线与所成的角为；平面； 直线与平面所成的角为.其中正确的命题为（ ）A. B. C. D. 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置.13.若向量，则向量与的夹角等于 14已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为 15已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为_.16菱形边长为， ，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、四点在同一球面上，则球的表面积等于_三、解答题：本大题共6小题，共70分。17在中，角，所对的边分别为，且.（1）求角； （2）若，的面积为，为的中点，求的长.182020高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.19.在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面.（）证明：；（）若点在线段上，且，求三棱锥的体积.20已知点到点的距离比到轴的距离大1.（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线： ，交轨迹于、两点， 为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值.21已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.选做题22在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ，过点的直线的参数方程为（为参数），与交于两点. (1) 求的直角坐标方程和的普通方程； (2) 若成等差数列，求的值.23选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）记函数的最大值为，若，求的最小值.罗源一中2020届高三5月校考 数学(文) 科参考答案一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。题号123456789101112答案DDBBACDABCCA二、填空题:13. 14 15 16详解：3A 【解析】由三角函数的定义可得，又，所以.9B 【解析】分析：由三视图可知该组合体为个球和半个圆柱，计算各面面积求和即可.详解：由三视图易知，该组合体为：上面是个球，下面是半个圆柱.表面积为：.10.C 【解析】依据题设中提供的算法流程图可知：当 时， ，此时，则；这时， ，此时， ，这时，输出，运算程序结束。11 C【解析】分析：因为线段的中点在轴上，在中， 由三角形中位线性质可得到轴，进而得到轴。在直角中， ， ，用边角关系推出， ，再由双曲线定，得到关系，进而可求离心率。 详解：因为线段的中点在轴上，又因为点O为线段的中点，由三角形中位线性质可知轴，所以轴，所以。因为，所以，。因为点在双曲线右支上，由双曲线定义可得所以，所以。12A【解析】 由题意得，如图所示，中，三棱锥的体积的为，所以体积为定值；中，在正方体中，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即，所以这正确的；中，由可知，直线与不垂直，所以面不成立，所以是错误的；中，根据斜线与平面所成的角，可知与平面所成的角，即为，所以不正确 16【解析】如图，点分别为外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为， ，所以， ， ，故答案为.三、解答题（共70分）17解：（1）由，得.由正弦定理，得，即.又由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以为等腰三角形，且顶角.故，所以.在中，由余弦定理，得.解得.18解：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）.由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，共20种.其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为.19.（）证明：取，的中点分别为，连接，.是以为斜边的等腰直角三角形，.平面平面，平面平面，平面，而，又，四边形为正方形，且，即由及得：面，又面，又，面，而面，. （）过点作于，则面且，（或由（）得面，）20.【解析】（1）因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴设轨迹C的方程为： ， , 轨迹C方程为： ， 或 .（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,直线l化成斜截式为 ,当直线l的平行线与抛物线相切时ABP的面积最大,由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式： ，所以, ，解得， ,所以P点坐标,P点到l的距离, A，B两点满足方程组 化简得. x1,x2 为该方程的根. 所以 , , 21（1）解：的定义域为，.当时，故在内单调递减，无极值；当时，令，得；令，得.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）当时，.设函数，则.记，则. 当变化时，的变化情况如下表：由上表可知，而，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时，.所以当且时，总有.22【解析】：（1）由，两边同乘