陕西省榆林市2020届高考数学上学期第一次模拟测试试题 理

陕西省榆林市2020届高考数学上学期第一次模拟测试试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数z，则其虚部为（）AiB2iC2D22（5分）若集合Ax|x2，Bx|x25x+60，xZ，则AB中元素的个数为（）A0B1C2D33（5分）函数的图象的大致形状是（）ABCD4（5分）已知向量、满足|1，|2，|，则|（）A2BCD5（5分）设、都是锐角，且cos，sin（+），则cos（）ABC或D或6（5分）设x，y满足约束条件，则Z3x2y的最大值是（）A0B2C4D67（5分）九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（1.732，sin150.258，sin7.50.131）A6B12C24D488（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为（）9（5分）在等比数列an中，a1+an34，a2an164，且前n项和Sn62，则项数n等于（）A4B5C6D710（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（，0上是减函数，且2，则不等式f（log4x）2的解集为（）AB（2，+）11（5分）设f（x）x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b0，则（）Af（a）+f（b）0Bf（a）+f（b）0Cf（a）f（b）0Df（a）f（b）012（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|3：4：5，则双曲线的离心率为（）ABC2D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为若a2sinC4sinA，（a+c）212+b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为 14（5分）已知函数f（x）+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是 15（5分）已知不等式ex1kx+lnx，对于任意的x（0，+）恒成立，则k的最大值 16（5分）已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若APAB，则当ABC与APQ的面积之比为时，实数的值为 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17（12分）已知数列an中，a14，an0，前n项和为Sn，若an+，（nN*，n2）（l）求数列an的通项公式；（2）若数列前n项和为Tn，求证18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2ac）（a2b2+c2）2abccosC（1）求角B的大小；（2）若sinA+1（cosC）0，求的值19（12分）设椭圆C：的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（）在（）的条件下，试求AOB的面积S的最小值20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，DADP，BABP（1）求证：PABD；（2）若DADP，ABP60，BABPBD2，求二面角DPCB的正弦值21（12分）已知函数f（x）x22（1）已知函数g（x）f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）已知曲线C的参数方程为（为参数），设直线l的极坐标方程为4cos+3sin80（1）将曲线C的参数方程化为普通方程并指出其曲线是什么曲线（2）设直线1与x轴的交点为P，Q为曲线C上一动点，求PQ的最大值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|x+1|+|xa|（a0）（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式f（x）5的解集为（，23，+），求a值2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5分）若复数z，则其虚部为（）AiB2iC2D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z，z的虚部为2故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）若集合Ax|x2，Bx|x25x+60，xZ，则AB中元素的个数为（）A0B1C2D3【分析】化简集合B，根据交集的定义写出AB，再判断其中元素个数【解答】解：集合Ax|x2，Bx|x25x+60，xZx|2x3，xZ，则AB，其中元素的个数为0故选：A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题3（5分）函数的图象的大致形状是（）ABCD【分析】f（x）中含有|x|，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可【解答】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x），x0时，图象与yax在第一象限的图象一样，x0时，图象与yax的图象关于x轴对称，故选：C【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法4（5分）已知向量、满足|1，|2，|，则|（）A2BCD【分析】运用向量模长的计算可得结果【解答】解：根据题意得，（）22+22又（+）22+2+21+4+2621，（）21+414，2故选：A【点评】本题考查向量模长的计算5（5分）设、都是锐角，且cos，sin（+），则cos（）ABC或D或【分析】由、都是锐角，且cos值小于，得到sin大于0，利用余弦函数的图象与性质得出的范围，再由sin（+）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出+为钝角，可得出cos（+）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sin和cos（+）的值，将所求式子中的角变形为（+），利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值【解答】解：、都是锐角，且cos，cos（+），sin，则coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin故选：A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键6（5分）设x，y满足约束条件，则Z3x2y的最大值是（）A0B2C4D6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z3x2y为，由图可知，当直线过A（0，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为302（2）4故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（5分）九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（1.732，sin150.258，sin7.50.131）A6B12C24D48【分析】列出循环过程中s与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n3，S3sin120，不满足条件S3，执行循环体，n6，S6sin60，不满足条件S3，执行循环体，n12，S12sin303，不满足条件S3，执行循环体，n24，S24sin15120.25883.1056，满足条件S3，退出循环，输出n的值为24故选：C【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题8（5分）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为（）【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AF与C1E所成角的余弦值【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，则A（0，0，0），F（2，1，2），C1（2，2，2），E（2，1，0），（2，1，2），（0，1，2），设异面直线AF与C1E所成角为，则cos，异面直线AF与C1E所成角的余弦值为故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（5分）在等比数列an中，a1+an34，a2an164，且前n项和Sn62，则项数n等于（）A4B5C6D7【分析】根据等比数列的性质得到a2an1a1an64，与已知的a1+an34联立，即可求出a1与an的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出Sn，把求出的a1与an的值代入即可求出公比q的值，根据an的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n的值【解答】解：因为数列an为等比数列，则a2an1a1an64，又a1+an34，联立，解得：a12，an32或a132，an2，当a12，an32时，sn62，解得q2，所以an22n132，此时n5；同理可得a132，an2，也有n5则项数n等于5故选：B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题10（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（，0上是减函数，且2，则不等式f（log4x）2的解集为（）AB（2，+）【分析】由题意知不等式即f（log4x），即 log4x，或 log4x，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集【解答】解：由题意知 不等式f（log4x）2，即 f（log4x），又偶函数f（x）在（，0上是减函数，f（x）在0，+）上是增函数，log4xlog42，或 log4x，0x，或 x2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点11（5分）设f（x）x3+log2（x+），则对任意实数a、b，若a+b0，则（）Af（a）+f（b）0Bf（a）+f（b）0Cf（a）f（b）0Df（a）f（b）0【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案【解答】解：设，其定义域为R，f（x），函数f（x）是奇函数且在（0，+）上单调递增，故函数f（x）在R上是单调递增，那么：a+b0，即ab，f（a）f（b），得f（a）f（b），可得：f（a）+f（b）0故选：B【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力属于基础题12（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|3：4：5，则双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】设|AF1|t，|AB|3x，根据双曲线的定义算出t3a，xa，RtABF2中算出 cosBAF2，可得cosF2AF1，在F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案【解答】解：|AB|：|BF2|：|AF2|3：4：5，设|AF1|t，|AB|3x，则|BF2|4x，|AF2|5x，根据双曲线的定义，得|AF2|AF1|BF1|BF2|2a，即5xt（3x+t）4x2a，解得t3a，xa，即|AF1|3a，|AF2|5a，|AB|：|BF2|：|AF2|3：4：5，得ABF2是以B为直角的Rt，cosBAF2，可得cosF2AF1，F2AF1中，|F1F2|2|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cosF2AF19a2+25a223a5a（）52a2，可得|F1F2|2a，即ca，因此，该双曲线的离心率e故选：A【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13（5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为若a2sinC4sinA，（a+c）212+b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为【分析】由已知利用正弦定理可求ac的值，可求a2+c2b24，代入“三斜求积”公式即可计算得解【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC4sinA，可得：ac4，由于（a+c）212+b2，可得：a2+c2b24，可得：故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14（5分）已知函数f（x）+4x3lnx在t，t+1上不单调，则t的取值范围是0t1或2t3【分析】先由函数求f（x）x+4，再由“函数在t，t+1上不单调”转化为“f（x）x+40在区间t，t+1上有解”从而有在t，t+1上有解，进而转化为：g（x）x24x+30在t，t+1上有解，用二次函数的性质研究【解答】解：函数f（x）x+4函数在t，t+1上不单调，f（x）x+40在t，t+1上有解在t，t+1上有解g（x）x24x+30在t，t+1上有解g（t）g（t+1）0或0t1或2t3故答案为：0t1或2t3【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意判别式的应用15（5分）已知不等式ex1kx+lnx，对于任意的x（0，+）恒成立，则k的最大值e1【分析】不等式ex1kx+lnx，对于任意的x（0，+）恒成立等价于对于任意的x（0，+）恒成立求得，（x0），的最小值即可k的取值【解答】解：不等式ex1kx+lnx，对于任意的x（0，+）恒成立等价于对于任意的x（0，+）恒成立令，（x0），令g（x）ex（x1）+lnx，（x0），则，g（x）在（0，+）单调递增，g（1）0，x（0，1）时，g（x）0，x（1，+）时，g（x）0x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0x（0，1）时，f（x）单调递减，x（1，+）时，f（x）单调递增f（x）minf（1）e1ke1故答案为：e1【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题16（5分）已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若APAB，则当ABC与APQ的面积之比为时，实数的值为或【分析】利用重心定理，用，把向量表示为，再利用A，P，Q共线，可得x+y1，最后代入面积公式即可得解【解答】解：设AQACG为ABC的重心，P，G，Q三点共线，ABC与APQ的面积之比为时，或，故答案为：或【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到、，y的关系式，是解答本题的关键三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17（12分）已知数列an中，a14，an0，前n项和为Sn，若an+，（nN*，n2）（l）求数列an的通项公式；（2）若数列前n项和为Tn，求证【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得（），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）数列an中，a14，an0，前n项和为Sn，若an+，（nN*，n2），由anSnSn1（）（+），可得1，即有+n12+n1n+1，即Sn（n+1）2，当n2时，an+n+1+n2n+1；则an；（2）n2时，可得列（），则前n项和为Tn+（+）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题18（12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2ac）（a2b2+c2）2abccosC（1）求角B的大小；（2）若sinA+1（cosC+）0，求的值【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosB，结合范围B（0，180），可求B的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos（A+30），结合范围A+30（30，150），可求A30，由正弦定理即可求得的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）（2ac）（a2b2+c2）2abccosC（2ac）2accosB2abccosC（2ac）cosBbcosC3分，由正弦定理可得：，a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosB+sinBcosCsin（B+C）sinA，sinA0，cosB，B（0，180），B606分（2）sinA+1（cosC+）0，sinA+1cosC0，可得：sinAcosC，B60，C180BA120A，sinAcos（120A），可得： cosAsinA，cos（A+30），A（0，120），A+30（30，150），A30，由正弦定理，B60，A30，可得：12分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）设椭圆C：的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（）在（）的条件下，试求AOB的面积S的最小值【分析】（）由已知得，又a2b2+c2，由此能求出椭圆C的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y20，点O到直线AB的距离为当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为yk0x，OB的方程为y，联立，得，同理，得，由此能求出AOB的面积S的最小值【解答】解：（）由已知得，又a2b2+c2，解得a2，b1，c，椭圆C的方程为（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1x2，y1y2，以AB为直线的圆经过坐标原点，0，x1x2+y1y20，又点A在椭圆C上， 解得|x1|y1|此时点O到直线AB的距离（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为ykx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m240，以AB为直径的圆过坐标原点O，OAOB，x1x2+y1y20，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m20，（1+k2），整理，得5m24（k2+1），点O到直线AB的距离，综上所述，点O到直线AB的距离为定值（3）设直线OA的斜率为k0，当k00时，OA的方程为yk0x，OB的方程为y，联立，得，同理，得，AOB的面积S2，令1+t，t1，则S22，令g（t）+49（）2+，（t1）4g（t），当k00时，解得S1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线AB的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，DADP，BABP（1）求证：PABD；（2）若DADP，ABP60，BABPBD2，求二面角DPCB的正弦值【分析】（1）取AP中点F，连接DM，BM，由已知可证PADM，PABM，又DMBMM，可得PA平面DMB，因为BD平面DMB，可证PABD；（2）由已知可得DAP是等腰三角形，ABP是等边三角形，求出MDMB，以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面DPC与平面PCB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角DPCB的余弦值，进一步求得正弦值【解答】（1）证明：取AP中点M，连接DM，BM，DADP，BABP，PADM，PABM，DMBMM，PA平面DMB又BD平面DMB，PABD；（2）解：DADP，BABPDADP，ABP60，DAP是等腰三角形，ABP是等边三角形BABPBD2，DM1，BMBD2MB2+MD2，MDMB以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，0），P（1，0，0），D（0，0，1），从而得（1，0，1），（1，0），（1，0），（1，0，1），设平面DPC的法向量，则，即，令y11，得，（，1，），设平面PCB的法向量，由，得，令y21，得，（，1，），cos设二面角DPCB为，【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题21（12分）已知函数f（x）x22（1）已知函数g（x）f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；（2）函数有几个零点？【分析】（1）由题意可得0x1时，g（x）2x+2+0恒成立，即a2x22x2+，求得2+ 的最大值，可得a的范围（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号【解答】解：（1）函数f（x）x22，函数g（x）f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，0x1时，g（x）2x+2+0恒成立，即a2x22x2+，而m（x）2+ 在区间（0，1）上单调递减，2+m（0）0，a0（2）函数ln（1+x2）（x22）kln（1+x2）x2+1k 的定义域为R，h（x）x0，令h（x）0，求得x0，或x1 或x1，列表： x （，1 ）1 （1，0） 0 （0，1） 1 （1，+） f（x）的符号+ + f（x） 增 极大值ln2+k 减 极小值1k 增极大值ln2