高三数学新课：极限的四则运算函数的连续性（理）人教版

高三数学新课：极限的四则运算，函数的连续性（理）高三数学新课：极限的四则运算，函数的连续性（理）人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三新课：极限的四则运算，函数的连续性 二. 教学重、难点： 1. 函数在一点处连续 2. 函数在开区间，闭区间上连续 3. 连续函数的性质 （1）若与在处连续，则，)(xfy )(xgy 0 xx )()(xgxf)()(xgxf （）在处也连续。 )( )( xg xf 0)(xg 0 xx （2）最大、最小值，若是上的连续函数，那么在上有最大值)(xfba,)(xf,ba 和最小值，最值可在端点处取得，也可以在内取得。,ba 【典型例题典型例题】 例 1 求下列极限 （1） 22 1 lim 4 3 xx xx x （2）)11(lim 22 xx x （3） 6 23 lim 2 23 2 xx xxx x （4） 1 1 lim 4 1 x x x 解：解： （1）原式0 002 000 21 2 111 lim 43 43 xx xxx x （2）原式 11 )11)(11( lim 22 2222 xx xxxx x 0 11 2 lim 22 xx x （3）原式 3 ) 1( lim )3)(2( )2)(1( lim 22 x xx xx xxx xx 5 2 32 ) 12(2 )3(lim ) 1(lim 2 2 x xx x x （4）原式 2 1 ) 1(lim 1lim 1 1 lim ) 1)(1( 1 lim 1 1 lim 4 1 1 4 1 44 4 1 4 1 xxxx x x x x x xxx 例 2 求下列各数列的极限 （1） 11 3)2( 3)2( lim nn nn n （2）) 1 1 () 3 1 1)( 2 1 1 (lim 222 n n （3）)2(lim 2 nnn n 解：解： （1）原式 3 1 3) 3 2 (lim2 1) 3 2 (lim 3) 3 2 )(2( 1) 3 2 ( lim n n n n n n n （2）原式 2 1 ) 1 2 1 (lim) 11 () 3 4 3 2 )( 2 3 2 1 (lim n n n n n n nn （3）原式 nnn n nnn nnnnnn nn 2 2 lim 2 )2)(2( lim 22 22 1 11 2 1 2 1 2 lim n n 例 3 已知数列是正数构成的数列，且满足，其中是 n a3 1 acaa nn lglglg 1 n 大于 1 的整数，是正数。c （1）求的通项公式及前项和； n an n S （2）求的值。 1 1 2 2 lim n n n n n a a 解：解： （1）由已知得 是公比为的等比数列，则 1 nn aca n a3 1 ac 1 3 n n ca 10 1 )1 (3 13 cc c c cn S n n 且 （2） nn nn n n n n n n c c a a 32 32 lim 2 2 lim 11 1 1 当时，原式2c 4 1 当时，原式2c c c c c n n n 1 3) 2 (2 3) 2 ( lim 1 1 当时，原式20 c 2 1 ) 2 (32 ) 2 (31 lim 1 1 n n nc c c 例 4 判定下列函数在给定点处是否连续。 （1）在处； 1, 2 1 1, )( x xx xfy1x （2），在处。 0, 12 0, 0 0, 12 )( xx x xx xfy0x 解：解： （1），但1)(lim)(lim)(lim 111 xfxfxf xxx )(lim 2 1 ) 1 ( 1 xff x 故函数在处不连续)(xfy 1x （2）函数在处有定义，但)(xfy 0x1) 12(lim)(lim 00 xxf xx ，即1) 12(lim)(lim 00 xxf xx )(lim)(lim 00 xfxf xx 故不存在，所以函数在点处不连续。)(lim 0 xf x )(xf0x 例 5 已知函数，试求： n n x x x xf 1 lim)( （1）的定义域，并画出的图象；)(xf)(xf （2）求，；)(lim 1 xf x )(lim 1 xf x )(lim 1 xf x （3）在哪些点处不连续。)(xf 解：解： （1）当，即时，1x11x0 1 lim n n n x x 当时，不存在1x n n n x x 1 lim 当时，1x 2 1 1 lim n n n x x 当时，即或时，1x1x1x1 1) 1 ( 1 lim 1 lim n n n n n x x x ) 11( 1 ) 1( 2 1 ) 11(0 )( xx x x xf 或 定义域为（）（） ，图象如图所示1, , 1 （2） 11lim)(lim 11 xx xf00lim)(lim 11 xx xf 不存在)(lim 1 xf x （3）在及处不连续 在处无意义)(xf1x1x)(xf1x 时，1x0)(lim, 1)(lim 11 xfxf xx 即不存在 在及处不连续)(lim 1 xf x )(xf1x1x 例 6 证明方程至少有一个小于 1 的正根。12 x x 证明：证明：令，则在（0，1）上连续，且当时，12)( x xxf)(xf0x 。01)0(f 时，1x01121) 1 (f 在（0，1）内至少有一个，使 0 x0)( 0 xf 即：至少有一个，满足且，所以方程至少有一个小 0 x10 0 x0)( 0 xf12 x x 于 1 的正根。 例 7 函数在区间（0，2）上是否连续？在区间0，2上呢？ 2 4 )( 2 x x xf 解：解：（且）2 2 4 )( 2 x x x xfRx2x 任取，则20 0 x)2(lim)(lim 00 xxf xxxx )(2 00 xfx 在（0，2）内连续，但在处无定义)(xf)(xf2x 在处不连续，从而在0，2上不连续)(xf2x)(xf 例 8 假设，在上不连续，求的取值范围。 123 15 )( xax x xf),(a 解：解：若函数，在上连续，由函数在点处连续的 123 15 )( xax x xf),( 0 x 定义， 必有，因为，) 1 ()(lim)(lim 11 fxfxf xx 55lim)(lim 11 xx xf ，所以，所以，若不连续，则aaxxf xx 23)23(lim)(lim 11 a2351a)(xf 且。Ra1a 例 9 设 )0)(11( )0( )0( 1 11 )( 2 2 xx x b xa x x x xf （1）若在处的极限存在，求的值；)(xf0xba, （2）若在处连续，求的值。)(xf0xba, 解：解： （1），因为11lim)(lim 2 00 xxf xx 2 11 lim)(lim 00 b x b xf xx 在处极限存在，所以，所以，即)(xf0x)(lim)(lim 00 xfxf xx 2 1 b Rab , 2 （2）因为在处连续，所以在处的极限存在，且)(xf0x)(xf0x ，由（1）知，且，又，所以。)0()(lim 0 fxf x 2b1)(lim 0 xf x af)0(2, 1ba 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一. 选择题： 1. 已知，则下列结论正确的是（ ） x x xf 3 2 )( A. B. 不存在 C. =1 D. =0)(lim xf x )(limxf x )(limxf x )(limxf x 1 2. 的值为（ ） 3ln 12lnln lim 2 3 x xx ex A. 5 B. 4 C. 7 D. 0 3. 的值为（ ） x x x 1 lim 2 A. 1 B. 0 C. D. 11 4. 的值为（ ）) 1(lim 2 nnn x A. B. C. 1 D. 2 1 2 1 2 3 5. 若，则的取值范围是（ ）1) 1 (1 lim n n b b b A. B. C. D. 1 2 1 b 2 1 2 1 b 2 1 b 2 1 0 b 6. 若在上处处连续，则常数等于（ ） 0 02 )( xax x xf),(a A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 7. 在点处连续是在点处连续的（ ）)(xf 0 xx )(xf 0 xx A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 的不连续点是（ ） 9 3 )( 2 x x xf A. 无不连续点 B. C. D. 3x3x3x 二. 解答题： 1. 求下列极限： （1） （2） （3） 13 124 lim n n n n n nn nn n aa aa lim 1 1 lim nn nn n 2. 为常数，1，求。ba, )12(lim 2 bnnna n ba, 3. 已知 01 0 12 12 )( 1 1 x x xf x x （1）在处是否连续？说明理由；)(xf0x （2）讨论在和上的连续性。)(xf0 , 1 1 , 0 试题答案试题答案 一. 1. B 2. C 3. C 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 二. 1. 解： （1）0 3 1 1 3 1 ) 3 2 (4 lim 13 124 lim n n n n n n n n n n n （2） n n nn nn a a aa aa 2 2 ) 1 (1 ) 1 (1 当时， 10 a1 1 a 1lim nn nn n aa aa 当时， 1a1 1 0 a 1lim nn nn n aa aa 当时，1a0lim nn nn n aa aa （3）1 1 1 1 1 11 lim 1 1 lim 1 1 lim n n nn nn nn nn nnn 2. 解： bnnna ananba bnnna nn 12 )2( lim)12(lim 2 22222 2 1 12 2 )2( lim 2 2 222 b nn a n a anba n ， 1 2 02 2 22 ba a ba 22a4b 3. 解： （1）